Частота отказов. 
Обработка вариационного ряда

Под частотой отказов понимается отношение числа отказов, происшедших в единицу времени, к общему числу испытываемых изделий.

.

где ?n — число отказов происшедших за время? t.

Приведем некоторые преобразования.

но и тогда переходя к пределу, получим.

ВыражениеdP (t)/dt является плотностью вероятности отказов на отрезке t и для нормального закона представляется выражением.

где у — среднеквадратичное отклонение,.

— середина интервала.

— среднее арифметическое значение наработки до отказа.

Таблица 5. Расчет плотности вероятностей.

Граница интервалов.	Середина интервала.
0−4,67 4,67−9,34 9,34−14,01 14,01−18,68	2,335 7,005 11,675 16,345	-16,423 -11,753 -7,083 -2,413	269,709 138,129 50,166 5,822	2,594 1,329 0,483 0,056	13,413 3,779 1,621 1,0576	0,0259 0,0919 0,214 0,328
18,68−23,35 23,35−28,02 28,02−32,69 32,69−37,36	21,015 25,685 30,355 35,025	2,257 6,927 11,597 16,267	5,0948 47,985 134,494 264,621	0,049 0,462 1,298 2,545	1,0502 1,587 3,649 12,772	0,331 0,219 0,095 0,0272

При построении графика кривой f (t) (рис. 2) точку перегиба в момент времени t_ср определим по зависимости.

или для численного примера.

Рассмотрим, какова вероятность попадания случайной величины (момента отказа) на тот или иной интервал времени.

Определим вначале вероятность попадания случайной величины в точку, равную t_ср по условию t_i= t_ср и, следовательно,.

Используя интеграл Лапласа, получим при z₀=0 и Ф (0)=0, а это значить, что вероятность попадания случайной величины в точку на любом интервале равна нулю.

Выберем теперь интервал времени равный t_ср±у (односигмовый интервал), т. е. такой, который начинается в момент t_i'=t_ср-у и кончается в момент t_i^«=t_ср+у. Тогда, подставляя в зависимость.

вместо t_i его значение, получим.

.

а значения функции соответственно равны Ф (1)=0,34; 2· Ф (1)=0,68.

Это значит, что вероятность попадания случайной величины на интервал времени t_ср±у (в нашем примере от 8,1204 до 22,3216) равно 0,68, т. е. 68% всех отказов произойдет на этом интервале.

Выберем интервал времени равный t_ср±2· у (двухсигмовый интервал). Тогда.

.

а Ф (2)=0,47.

Это значит, что попадание случайной величины на двухсигмовый интервал (в нашем случае от 1,0198 до 29,4222 сотен ч) равна 94% всех отказов, наблюдавшихся в испытаниях. При интервале времени t_ср±3· у (трехсигмовый интервал).

тогда Ф (3)=0,499 и 2· Ф (3)=0,998, т. е. почти 100% отказов произойдут на трехсигмовом интервале (в нашем примере от -6,0808 до 36,5228 сотен ч).

На этом основании с достаточной для практики степенью точности допускают, что ветви кривой Гаусса пересекаются с осью абсцисс в точках t_ср-3· у и t_ср+3· у. График плотности вероятности с сигмовыми интервалами приведен на рис. 3.

Рисунок 3. График плотностей вероятностей.