Проверка адекватности линейной регрессионной модели при наличии повторных наблюдений

Точные методы оценки значимости регрессионной модели основаны на критерии Фишера.

Рассмотрим остаточную дисперсию.

В ее образовании участвуют два независимых фактора: рассеяние вокруг истинной линии регрессии у, характеризующееся дисперсией cf ~ Sf, и погрешность в определении приближенной регрессии у = у (х), которой соответствует дисперсия Sf_erp. Поскольку эти факторы независимы, то Sf_CT = Sf + Sf_erp. Ошибка в определении регрессии будет значимой, т. е. Sf_erp *0, если Sf^. будет больше Sf. Для доверительной вероятности 1 — а эта значимость проверяется по критерию Фишера. Если.

то регрессионная модель не является адекватной. Здесь F_a — критическое значение распределения Фишера с числом степеней свободы (п — Z, п_Е -1), где — число наблюдений для оценки Sf.

Дисперсию Sf можно оценить, если дублировать наблюдения при каждом фиксированном х_;. Пусть при каждом значении х = Xj, i = 1, n, проводится m независимых наблюдений отклика. Каждаяi-я серия наблюдений даст свою оценку дисперсии , где у_{ — среднее значение отклика в i-й серии. Оценкой Sf может быть средневзвешенная дисперсия по всем i:

Дисперсия S?_CT при наличии повторных наблюдений примет вид (для линейной однофакторной модели число связей I = 2).

Тогда F-отношение равно.

и имеет число степеней свободы (п — 2, п (т — 1)).

Если F > F_a, то гипотеза о линейности модели должна быть отвергнута.