Парадокс Кондорсе. 
Теорема Эрроу о демократических групповых решениях

Аксиома транзитивности, использующаяся при построении функции индивидуальной полезности неприменима к совокупности потребителей. Факт нетранзитивности групповых оценок, определяемых на основе предпочтений большинства, называется парадоксом Кондорсе.

Допустим, три студента — Антон, Борис и Семен решили провести вечер вместе, и им остается решить, где в театре, диско или в кино. В соответствии с гипотезой порядкового измерения полезности каждый из них упорядочил свои предпочтения так:

Антон: театр диско кино, Борис: диско кино театр, Семен: кино театр диско.

На основе этих данных построим порядковую функцию общественной полезности исходя из предпосылки, что «общество» предпочитает ту альтернативу, за которую высказывается большинство. При выборе между театром и диско большинство выскажется за театр. Выбор между диско и кино обнаружит, что первую общество предпочитает второму. А при сравнении кино с театром лучше окажется кино, несмотря на то, что оно было признано хуже диско, а последняя — хуже театра. Возник «порочный круг» выбора на основе большинства голосов.

Поскольку общественные предпочтения нетранзитивны, то общественный выбор зависит от очередности постановки альтернатив на голосование.

Суть проблемы представлена наглядно на рисунке 3. Все три альтернативы имеют одинаковую сумму рангов, и поэтому нет абсолютно лучшего варианта.

Рисунок 3. Нетранзитивность коллективных предпочтений.

Таким образом, «общественными предпочтениями», сформированными на основе мнения большинства или путем суммирования индивидуально ранжированных альтернатив, можно манипулировать, меняя очередность голосования или добавляя новые компоненты в «потребительскую корзину» общества.

Теорема Эрроу о демократических решениях.

Свойства алгоритма однозначного определения общественных предпочтений:

• 1. Если существует множество полностью упорядоченных, рефлексивных и транзитивных индивидуальных предпочтений, то общественное предпочтение должно обладать этими же свойствами;
• 2. Если каждый член общества предпочитает альтернативу, А альтернативе В, то и общество должно признать, что, А лучше В;
• 3. Если по крайней мере один член общества предпочитает альтернативу Х альтернативе Y при безразличии к этим альтернативам всех других членов общества, то оно должно выбрать Х;
• 4. Выбор между альтернативами, А и В должен зависеть только от сравнительной оценки индивидами именно этих альтернатив, а не от того, как данные компоненты потребительской корзины ранжированы относительно других ее компонентов.

Однако, как доказал К. Эрроу, при демократическом принятии коллективного решения нельзя создать алгоритм упорядочения предпочтений, обладающий одновременно всеми четырьмя выше перечисленными свойствами. Поэтому из совокупности индивидуальных предпочтений нельзя сконструировать критерий общественной полезности, исключающий возможность манипулирования общественными предпочтениями. Этот вывод назван теоремой невозможности Эрроу.

Трудности, возникающие при построении функции общественного благосостояния, связаны с неразрешимостью проблемы справедливого распределения, поэтому возникла идея избрать такой критерий оценки общественного благосостояния, который не затрагивал бы распределения благосостояния между членами общества. Такой критерий был предложен В.Парето. В соответствии с ним некоторое событие улучшает состояние экономики, если в результате него повышается благосостояние хотя бы одного индивида без ухудшения благосостояния других. Если при некотором состоянии экономики никакие изменения в производстве и распределении не могут повысить благосостояние хотя бы одного субъекта, не снижая благосостояния других, то такое состояние называется эффективным (оптимальным) по Парето. Критерий эффективности Парето не требует сравнения или сложения индивидуальных полезностей.