Проблема оценки внешней среды. 
Проблема черного ящика

Основные операции мат. моделирования

Математическая модель описывается (представляется) математическими структурами, математическим аппаратом (числа, буквы, геометрические образы, отношения, алгебраические структуры и т. д.).

Отметим основные операции (процедуры) математического моделирования.

1. Линеаризация. Пусть дана математическая модель М=М (X, Y, A), где X — множество входов, Y — множество выходов, Амножество состояний системы. Схематически можно это изобразить так: X->A->Y. Если X, Y, A — линейные пространства (множества), а — линейные операторы (т.е. любые линейные комбинации ax+by аргументов и преобразуют в соответствующие линейные комбинации и, то система (модель) называется линейной. Все другие системы (модели) — нелинейные. Они труднее поддаются исследованию, хотя и более актуальны. Нелинейные модели менее изучены, поэтому их часто линеаризуют — сводят к линейным моделям каким-то образом, какой-то корректной линеаризующей процедурой.

Пример. Применим операцию линеаризации к модели (какой физической системы, явления?) у=at2/2, 0<=t<=4, которая является нелинейной (квадратичной). Для этого заменим один из множителей t на его среднее значение для рассматриваемого промежутка, т. е. на t=2. Такая (пусть простят меня знакомые с линеаризацией читатели, — хоть и очень наглядная, но очень грубая!) процедура линеаризации дает уже линейную модель вида y=2at. Более точную линеаризацию можно провести следующим образом: заменим множитель t не на среднее, а на значение в некоторой точке (это точка — неизвестная!); тогда, как следует из теоремы о среднем из курса высшей математики, такая замена будет достаточно точна, но при этом необходимо оценить значение неизвестной точки. На практике используются достаточно точные и тонкие процедуры линеаризации.

2. Идентификация. Пусть М=М (X, Y, A), A={ai}, ai=(ai1, ai2, …, aik) — вектор состояния объекта (системы). Есливектор ai зависит от некоторых неизвестных параметров, то задача идентификации (модели, параметров модели) состоит в определении по некоторым дополнительным условиям, например, экспериментальным данным, характеризующим состояние, системы в некоторых случаях. Идентификация — задача построения по результатам наблюдений математических моделей некоторого типа, адекватно описывающих поведение системы. Если S={s1, s2, …, sn} - некоторая последовательность сообщений, получаемых от источника информации о системе, М={m1, m2, …, mz} - последовательность моделей, описывающих S, среди которых, возможно, содержится оптимальная (в каком-то смысле) модель, то идентификация модели Мозначает, что последовательность S позволяет различать (по рассматриваемому критерию адекватности) две разные модели вМ. Последовательность сообщений (данных) S назовем информативной, если она позволяет различать разные модели в М. Цель идентификации — построение надежной, адекватной, эффективно функционирующей гибкой модели на основе минимального объема информативной последовательности сообщений. Наиболее часто используемые методы идентификации систем (параметров систем): метод наименьших квадратов, метод максимального правдоподобия, метод байесовских оценок, метод марковских цепных оценок, метод эвристик, экспертное оценивание и другие.

Пример. Применим операцию идентификации параметра a в модели предыдущего примера. Для этого необходимо задать дополнительно значение y для некоторого t, например, y=6 при t=3. Тогда из модели получаем: 6=9a/2, a=12/9=4/3. Идентифицированный параметр, а определяет следующую модель y=2t2/3. Методы идентификации моделей могут быть несоизмеримо сложнее, чем приведенный прием.

3. Оценка адекватности (точности) модели.

Пример. Оценим адекватность (точность) модели у=at2/2, 0<=t<=4, полученной в результате линеаризации выше. В качестве меры (критерия) адекватности рассмотрим привычную меру — абсолютное значение разности между точным (если оно известно) значением и значением, полученным по модели (почему берется по модулю?). Отклонение точной модели от линеаризованной будет в рамках этого критерия равно |at2/2−2at|, 0<=t<=4. Если a>0, то, как несложно оценить с помощью производной, эта погрешность будет экстремальна при t=2a. Например, если a=1, то эта величина не превосходит 2. Это достаточно большое отклонение, и можно заключить, что наша линеаризованная модель в данном случае не является адекватной (как исходной системе, так и нелинеаризованной модели).

4. Оценка чувствительности модели (чувствительности к изменениям входных параметров).

Пример. Из предыдущего примера следует, что чувствительность модели у=at2/2, 0<=t<=4 такова, что изменение входного параметра t на 1% приводит к изменению выходного параметра y на более, чем 2%, т. е. эта модель является чувствительной.

5. Вычислительный эксперимент по модели. Это эксперимент, осуществляемый с помощью модели на ЭВМ с целью определения, прогноза тех или иных состояний системы, реакции на те или иные входные сигналы.