Распространение акустических волн

В этом параграфе мы обсудим численные методы решения задач распространения волн малой амплитуды. Необходимость решения таких задач возникает в самых различных областях, например:

• 1) аэроакустика (снижение шума);
• 2) распространение электромагнитных волн (микроэлектроника);
• 3) волны в твердых телах (методы неразрушающего контроля, динамика конструкций, сейсморазведка);
• 4) методы медицинской диагностики;
• 5) предсказание прихода волны цунами.

Начнем наше обсуждение с простейшего уравнения колебаний.

Разностная схема для уравнения колебаний

В одномерном случае колебания однородной среды в отсутствие внешнего воздействия описываются уравнением.

с начальными условиями.

и граничными условиями.

Здесь и обозначает либо скорость частиц среды, либо давление и с — скорость звука. Введем разностную сетку с шагами т и h = l/(N- 1), где N — количество узлов разностной сетки. Используем разностное выражение для второй производной и применим его для аппроксимации производной, но времени в точке х" и производной, но пространству в момент времени Ц. В результате получим разностную схему.

которая приводит к вычислительной формуле.

где г = cx/h — безразмерный параметр, называемый параметром Куранта. Шаблон для схемы (11.52) показан на рис. 11.18, поэтому ее часто называют схемой «крест».

Рис. 11.18. Шаблон схемы «крест».

Значения приближенного решения при k = 0 и k = 1 вычисляются из начальных условий, а значения при п = О и п = N вычисляются из граничных условий. В случае граничных условий первого рода (а₂ = а₄ = 0, а! = а₃ = 1) формулы имеют простой вид:

Для аппроксимации граничных условий второго рода (а₂ = оц = 1, х = 0. Введем фиктивный слой с координатами (х_, 4)> тогда можно аппроксимировать производную в граничной точке со вторым порядком, но h, используя центральную разность.

В дополнение запишем схему (11.2) при п = 0.

Исключая фиктивное значение из последнего выражения, мы получим формулу для вычисления приближенного решения в граничной точке.

Исследуем свойства схемы «крест». Используя последнее соотношение из (11.11), получим следующее выражение:

Это значит, что разностная схема (11.52) аппроксимирует дифференциальную задачу (11.51) со вторым порядком по h и х. Далее, подставляя в разностную схему решение в виде (11.14), получим уравнение для собственных значений оператора перехода.

Решение этого уравнения имеет вид.

и, согласно критерию фон Неймана, схема «крест» будет устойчива при г < 1.

Пример 11.4 (схема «крест»).

Рассмотрим задачу (11.51) с нулевыми начальными условиями и граничными условиями.

где.

Решение, полученное с помощью схемы (11.52), показано на рис. 11.19. Как показывают эти результаты, данная схема сохраняет амплитуду, но искажает форму волны. Более того, появляются высокочастотные осцилляции, отсутствующие в точном решении.

Понятно, что в пределе А, т —? 0 приближенное решение будет стремиться к точному, но реально мы работаем с конечными шагами по пространству и времени. В этом случае.

Рис. 11.19. Решение уравнения (11.51) с граничными условиями (11.53) в момент времени t = 1 (/ = 1, с = 1):

• —точное решение;——приближенное решение
• (h = 0.05,т = 0.0333, г =2/3)

анализ аппроксимации не позволяет получить более полную информацию о свойствах разностной схемы, таких как, например, диссипация и дисперсия. Далее мы обсудим метод анализа этих важных свойств.