Изоморфизм систем целых чисел
Предварительно докажем, что f (N) = Nv Для любого п е N имеем fin) = f ((n + 1) — 1) = (pin + 1) — (р{) = (pin) + (pi) — (pi) = (pin) e N1. Пользуясь тем, что (р — отображение на Л^, получаем. Аналогично доказывается, что fixy) = fix)'fiy). Таким образом, / — изоморфизм кольца целых чисел на кольцо целых чисел (Z, +, •). Отображение / сохраняет операции сложения и умножения. В самом деле, для… Читать ещё >
Изоморфизм систем целых чисел (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Уточняя привычное представление о единственности целых чисел, докажем, что любые два кольца целых чисел изоморфны, и только отождествляя соответствующие при изоморфизме элементы, можно считать, что существует лишь одно кольцо целых чисел.
3.3.23. Теорема. Любые два кольца (упорядоченных кольца) целых чисел изоморфны.
Доказательство. Пусть дано кольцо целых чисел (Z, +, •), содержащее полукольцо натуральных чисел (N, +, •), и кольцо целых чисел (Zl9 +, •>, содержащее полукольцо натуральных чисел (N{ ,+,?). По 2.8.1 существует изоморфизм (р первого полукольца натуральных чисел на второе. Используя (р, определим отношение f’Z —> Z, следующим образом. По 3.1.6 всякое целое число xeZ представимо в виде разносги натуральных чисел: х-a-b, где a, be.N. Положим /(дг) = (р (а) — <�р (Ь) и докажем, что / - искомый изоморфизм (Z,+,-) на •.
1) / - отображение, то есть для любых .vjeZ если х = у, то f (x) = f (y). В самом деле, пусть x = a-b, y = c-d, где a, b, c, d eN. Если х = уу то a-b = c-d, откуда последовательно получаем: a + d =b + c, <�р (а + d) = <�р (Ь + с), <�р (а) + (p (d) =
+ <�р (с),.
<�Р (а) ~ <�рФ) = (р{с) — (p (d), f (x) = f (y).
- 2. Отображение / взаимно однозначно, что доказывается проведением предыдущих рассуждений в обратном порядке.
- 3) Очевидно, / является отображением на все множество Z,.
- 4) Отображение / сохраняет операции сложения и умножения. В самом деле, для любых x9yeZ, где x = a—b9 y = c-dy ayb, c, d е N, получаем:
Аналогично доказывается, что fixy) = fix)'fiy). Таким образом, / - изоморфизм кольца целых чисел на кольцо целых чисел (Z, +, •).
5) Для доказательства изоморфизма соответствующих упорядоченных колец целых чисел (Z, +, •, <) и (Z], +, •, <) остается установить, что х < у тогда и только тогда, когда (р{х) <<�р (у).
Предварительно докажем, что f (N) = Nv Для любого п е N имеем fin) = f ((n + 1) — 1) = (pin + 1) — (р{) = (pin) + (pi) — (pi) = (pin) e N1. Пользуясь тем, что (р — отображение на Л^, получаем.
т=nv
По определению отношения «меньше» (3.3.12) для целых чисел х и у имеем х<�у тогда и только тогда, когда y-xeN, что по доказанному эквивалентно включению fiy-x)eNy. Но fiy-x) = = fiy) — fix). Итак, х<�у тогда и только тогда, когда fiy)-f (x) е N], что означает fix) < f (х). ?