Математический и физический маятники

Периоды колебаний математического и физического маятников Математический маятник — материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити, и совершавшая колебания в вертикальной плоскости под действием силы тяжести. Материальная точка — тело, масса которого сосредоточена в центре масс и размерами которого в условиях данной задачи, можно пренебречь.

Математический маятник при колебаниях совершает движение по дуге окружности радиуса. Его движение подчиняется законам вращательного движения.

Основное уравнение вращательного цветения запишется в виде.

(1).

М — момент сил, I — момент инерции, е — угловое ускорение.

Равнодействующая сил и равна .

Из треугольника АВС т. е.

таким образом, колебания математического маятника происходят под действием квазиупругой силы — силы тяжести.

Тогда (1) запишется в виде.

(2).

Знак минус учитывает, что векторы и имеют противоположные направления (угол поворота можно рассматривать, как псевдовектор углового смещения, направление вектора определяется по правилу правого винта, из-за знака минус направлен в противоположную сторону).

Сократив в (2) на m и получим.

При малых углах колебаний б = 5 ч6°, получим.

Ввода обозначения.

получим дифференциальное уравнение колебаний математического маятника.

Его решение:

— уравнение математического маятника.

из которого видно, что угол б изменяется по закону косинуса. б₀ — амплитуда, щ₀ — циклическая частота, ц₀ — начальная фаза.

— период колебаний математического маятника Физический маятник — твердое тело, колеблющееся под действием силы тяжести вокруг неподвижной горизонтальной оси, не проходящей через центр тяжести тела, называемой осью качания маятника.

Основное уравнение — вращательного движения для физического маятника запишется в виде.

При малых углах колебаний и уравнение движения имеет вид.

Тогда положив.

получим.

— дифференциальное уравнение физического маятника.

— период колебаний физического маятника Приравняв Т_физ = Т_мат:

следовательно, математический маятник с длиной.

имеет такой же период колебаний, как и данный физический маятник. — приведенная длина физического маятника — это длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом данного физического маятника.