Выражение векторного произведения через координаты сомножителей

Теорема 1. Пусть векторы и имеют координаты.

.

Векторное произведение этих векторов имеет координаты.

. (16).

Можно расписать определители:

(16').

или представить в виде.

. (16'').

Доказательство. Рассмотрим векторные произведения базисных векторов:

(17).

.

Разложим векторы и по базису :

.

На основании свойств векторного произведения мы можем перемножать правые части почленно:

с учетом формул (17).

Пример 1. Найти координаты векторного произведения векторов.

.

Решение. Пусть .

.

Пример 2: Даны три точки: .

Найти площадь треугольника АВС ().

Решение.

.

Найдем координаты векторов .

.

.

Смешанное произведение трёх векторов

Даны при произвольных вектора .

Определение. Если результат векторного произведения скалярно умножить на вектор, то — это смешанное произведение векторов .

Геометрический смысл смешанного произведения

Теорема 2. Смешанное произведение равно объему параллелепипеда, построенному на приведённых к общему началу векторах, взятому со знаком, если — правая тройка векторов, и со знаком, если тройка — левая.

Если векторы — компланарны, то объем равен нулю, и .

Доказательство. Пусть S — площадь параллелограмма, построенного на векторах , — единичный вектор, перпендикулярный к векторам и образующий с ними правую тройку. (Вектор — орт векторного произведения .).

Из геометрического свойства 2 векторного произведения.

(18).

— высота параллелепипеда, построенного на векторах, с основанием S.

а, если правая тройка, то есть той же ориентации, что и .

а, если тройка левая.

Если векторы — компланарны, то .

Следствие 1.

.

Доказательство. Скалярное произведение векторов коммутативно, следовательно.

.

По теореме 2:

.

Далее будем обозначать смешанное произведение, так как .

Следствие 2. Смешанное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда векторы компланарны.

Выражение смешанного произведения через координаты векторов

Теорема 3. Пусть векторы имеют в ортонормированном базисе координаты. Тогда смешанное произведение этих векторов можно представить в виде.

.

Доказательство. .

По теореме о векторном произведении:

.

Умножим векторное произведение скалярно на вектор :

.

По следствию 2 необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство нулю определителя, составленного из координат векторов:

компланарны.

Пример 3. Даны четыре точки:. Найти объем тетраэдра АВСD.

Решение. Объем тетраэдра равен одной шестой объема параллелепипеда с теми же основанием и высотой:

.

Координаты векторов .

По теореме 3.

.

Примеры решения задач по теме: «Векторная алгебра» .

Задача 1. Разложить вектор по векторам.

Решение. Разложить вектор по векторам — значит представить его в виде.

(1).

где — неизвестные пока числа. Переходя в равенстве (1) к координатам векторов, получим Как известно у равных векторов равны соответствующие координаты,.

(2).

Решив систему (2), найдём. Следовательно, .

Задача 2. Найти вектор коллинеарный вектору и удовлетворяющий условию .

Решение. В силу коллинеарности векторов и вектор можно представить в виде где — пока неизвестный множитель. Для его определения используем второе условие:

.

Отсюда, поэтому .

Задача 3. Найти вектор, перпендикулярный векторам и и образующий с осью Ох тупой угол, если .

Решение. Найдём вектор

.

Так как перпендикулярен векторам и, то он коллинеарен вектору. Следовательно, .

По условию т. е. или. Вектор образует тупой угол с осью Ох, поэтому его проекция на эту ось должна быть отрицательной, отсюда и .

Поверхности в пространстве 40.

Плоскость 41.

Неполные уравнения плоскости 43.

Уравнение плоскости в «отрезках» 44.

Угол между плоскостями 45.

Уравнение плоскости, проходящей через три точки, не принадлежащие одной прямой 45.

Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости. 46.

Расстояние от точки до плоскости 47.

Приведение общего уравнения плоскости к нормальному виду 48.

Примеры задач на тему «Плоскость» 49.