Математический критерий возникновения хаоса

Хаос может возникать во многих областях физики, механики, химии, биологии, медицины. Это вызвало потребность в разработке общего чисто математического критерия определения условий возникновения хаоса в системах самой различной природы, без выяснения причины, почему он возникает. Обобщенный математический подход к хаосу используется в синергетике [37], в теории катастроф [35], в теории хаоса [36]. В синергетике рассматривают роль коллективных эффектов в процессе самоорганизации процессов природы. В основу ее положены три основных положения:

• 1) принцип подчинения (учет основных эффектов за счет членов уравнений, содержащих малые параметры);
• 2) принцип самоорганизации (последовательности фазовых переходов в системе при изменении управляющего параметра);
• 3) предположение о том, что при добавлении к линейной недиссипативной системе небольших нелинейностей регулярные движения в ней будут продолжать существовать.

В основу рассмотрения хаоса и различных сложных движений в нелинейных системах положено логистическое уравнение. Оно может быть одномерным и двумерным. В одномерном уравнении.

под х_п понимают состояние системы в п-м интервале времени, под х_п+1 — состояние системы в (п + 1)-м интервале; X — некоторый параметр. Величинах в этом уравнении может изменяться в интервале 0—1, потому уравнение (П9.56) называют также преобразованием отрезка О—1 в себя.

Двумерное логистическое уравнение может быть записано, например, в такой форме:

Логистическое уравнение (П9.56) было известно давно, интерес к нему возрос после появления работы Фейгенбаума [38]. В ней подмечены некоторые закономерности бифуркационных процессов (процессов ветвления). При параметре X уравнения (П9.56), находящемся в интервале 1 < X < 3, в системе, описываемой уравнением (П9.56),.

X — 1.

имеются две точки равновесия: х = 0 и х =-. Об устойчивости состо;

X dx dx

яний равновесия судят по величине производной ——. Если ——.

dx_n dx_n

в точке равновесия будет меньше единицы, то состояние равновесия устойчиво.

Процессы перехода от одного типа движения к другому могут быть описаны в прямоугольной системе координат х_п+1 = /(х_п). Например, на рис. П9.10, а кривая построена по уравнению (П9.56) при X = 2. Прямая х_п+1 = х_п описывает периодический процесс, на ней находятся точки равновесия. Стрелками показан процесс перехода отх_п кх_п+1 и отх_п+1 кх_лв этом типе движений. При X = 3 стационарный режим неустойчив, но возникает устойчивый бицикл, он окружает точку равновесия (рис. П9.10, б). В интервале 3 < X < 4 возникают многопериодические и хаотические движения (см., например, рис. П9.10, в, на котором показана начальная часть процесса при X = 3,5). Каждый последующий тип движения от одной бифуркации, с которой он начинается, до последующей бифуркации, которой соответствуют большее X и новый тип движения, имеет удвоенный период по сравнению с предыдущим типом движений.

Удвоение периода будет происходить до значения X = 3,5694. Вблизи этого значения X отношение разности параметров (А,_п+1 — Х_п) двух последующих типов движений к разности параметров (Х_п — Х_п_₂) двух предыдущих типов движений при приближении к хаосу будет стремиться к величине 1/8, где 8 = 4,66 320:

Число 8 называют числом Фейгенбаума. Если в некоторой системе, описываемой уравнением (П9.56), параметр X может достигать значений, при которых соотношение (П9.58) выполнено, то в системе возникнет хаос. В системе координат х =/(А) в интервале значений 2,9 < А, < 4 можно построить бифуркационную диаграмму (см., например, рис. П9.10, г), показать на ней ветвление кривой состояний, а также области притяжения при малых возмущениях состояний случайными помехами.

Рис П9.10

Вопрос о том, насколько сценарий возникновения хаоса, предложенный Фейгенбаумом для недиссипативных слабонелинейных систем, может быть применен к реальным диссипативным существенно нелинейным системам, остается открытым — это было отмечено еще в [37]. Как было показано в гл. 15 и в данном приложении, возникновение хаоса и других нежелательных процессов зависит от многих факторов. Изменением одного параметра X учесть все эти факторы вряд ли возможно. В реальных нелинейных системах, рассмотренных в книге, при приближении к непериодическим процессам и во время их существования последовательного удвоения периода по Фейгенбауму не наблюдалось.