Передаточная функция четырехполюсника на комплексной частоте

Под передаточной функцией четырехполюсника К (р) на комплексной частоте р понимают отношение выходного напряжения {У₂(р) ко входному Н-Др) (рис. 8.44, а):

К (р) зависит от схемы четырехполюсника, числового значения элементов схемы и от частоты р. Для четырехполюсника на рис. 8.43, б.

D.

К (р) =-. Из уравнения (8.76) следует, что.

R + pL

Рис. 8.44.

Под передаточной функцией четырехполюсника для синусоидального процесса на частоте ю понимают отношение.

iC (/w) получают из К (р) заменой р на;о), | K (jof) | — модуль, а ф (ю) — аргу;

R R

ментЯ (/со). Для схемы на рис. 8.43, б K (j (a) =-_:—, | К ( jw) | =, =,.

R + jwL л/Я² + о)²L²

(p (w) = arctgf-^j.

Зависимости и (p (w) изображены на рис. 8.44, б, в. Если несколько четырехполюсников, например три, соединены каскадно (рис. 8.44, г) и известны передаточные функции каждого четырехполюсника, то передаточная функция каскада в соответствии с формулой (8.77) равна произведению передаточных функций этих четырехполюсников:

Пример 103.

На рис. 8.45 изображена замкнутая система (система с обратной связью). Она состоит из основного четырехполюсника с передаточной функцией К(р) и четырехполюсника обратной связи с К_ос(р). Функцию последнего часто выполняет усилитель, работающий в режиме пропорционального усиления. Вывести формулу передаточной функции всей системы К_зс(р).

Рис. 8.45.

Решение. На вход основного четырехполюсника поступают основной сигнал и_г (р) и сигнал с выхода четырехполюсника обратной связи, поэтому.

Кроме того,.

Подставим (8.81) в (8.80). Получим.

Если 1 — К (р)К_ос(р) = 0, то в системе возникнут автоколебания, амплитуда их будет ограничиваться нелинейностью системы. Знаки «плюс» в формуле (8.80) и «минус» в формуле (8.82) соответствуют положительной обратной связи, знаки «минус» в формуле (8.80) и «плюс» в формуле (8.82) — отрицательной.

Переходные процессы при воздействии импульсов напряжения

Ток в любой схеме при действии на нее импульса напряжения (рис. 8.46, а) можно найти тремя способами:

• 1) применяя интеграл Дюамеля;
• 2) определяя ток при t < t_l так же, как от действия постоянного напряжения U; при t < действующее на систему напряжение равно нулю. Следовательно, система освобождается от вынуждающих ЭДС и по ней протекают свободные токи, обусловленные запасом энергии в индуктивных и емкостных элементах системы;
• 3) представляя импульс в виде двух постоянных напряжений. Поло

жительное напряжение U действует начиная с t = 0, отрицательное — начиная с t = t_v При t < токи в цепи определяются одним напряжением U; при t > — обоими напряжениями с учетом сдвига второго напряжения на время t_v

Рис. 8.46.

Рассмотрим третий способ. Положим, что требуется найти ток в цепи при подключении ее к источнику напряжения, имеющего форму равнобедренного треугольника (рис. 8.46, б). Задача решается в три приема.

Сначала определяем ток в интервале времени от t = 0 до t < tj от действия напряжения u₁ = kt (рис. 8.46, в). Затем для интервала времени t₂>t>t₁ находим ток в цепи от действия двух напряжений (рис. 8.46, в, г): от продолжающего действовать напряжения и_г = kt и от вступающего в действие при t = t₁ дополнительного напряжения и₂ = -2fc (t — t_a).

Для интервала времени t>t₂ ток определяется действием трех напряжений: продолжающих действовать напряжений щ и и₂ и вновь вступающего в действие при t = t₂ напряжения u₃ = k (t — t₂) (при t>t₂ сумма напряжений и_ь и₂ и и₃ (рис. 8.46, д) даст нуль).

Из трех перечисленных способов наиболее экономным является первый.

При воздействии серий импульсов переходный процесс рассчитывают часто операторным методом.

Пример 104.

На последовательно соединенные R и I поступает серия прямоугольных импульсов напряжения единичной амплитуды; длительность импульса т и длительность паузы также т (рис. 8.46, е). Используя третий способ в сочетании с теоремой запаздывания (см. параграф 8.40), определить ток в цепи.

Решение. Найдем изображение напряжения:

Выражение в скобках представляет собой бесконечную геометрическую прогрессию со знаменателем е~Р^т. Сумма членов ее равна -——. Изображение тока.

Применим формулу разложения. Корни знаменателя:

Группируя член к = 0 с членом к = -1, член к = 1 с членом к = -2 и т. д., получим.