Определение параметров систем автоматического управления, оптимальных по минимуму средней квадратической ошибки при заданной структуре

Обычно САУ стремятся спроектировать так, чтобы при действии управляющего воздействия (полезного сигнала) и возмущения (помехи) она функционировала наилучшим образом в смысле некоторого критерия качества системы. Спроектированную таким образом САУ называют оптимальной. Очевидно, что передаточная функция и параметры оптимальной системы зависят не только от характеристик полезного сигнала и помехи, но и от выбранного критерия оптимальности. При этом различным критериям оптимальности при одних и тех же характеристиках управляющего и возмущающего воздействий будут соответствовать различные передаточные функции оптимальных САУ.

Использование разных критериев связано с удовлетворением различных требований, которые наряду с техническими (точность работы, прямые и косвенные показатели качества и др.) включают требования по сложности, надежности, стоимости и т. д. Учесть все эти требовании при выборе критерия оптимальности весьма сложно.

Как отмечалось выше, точность работы САУ — один из важнейших показателей качества ее функционирования. Точность работы при случайных воздействиях, как правило, оценивается средней квадратической ошибкой. Очень распространенной является постановка задачи оптимизации параметров проектируемой САУ на основании критерия минимизации средней квадратической ошибки. Этот критерий получил широкое применение также в связи с простотой и наглядностью используемого математического аппарата.

Сущность синтеза САУ при заданной структуре заключается в выборе параметров системы на основании известных статистических характеристик действующих на систему сигналов.

Используя выражения (1.21)—(1.23), можно выразить значение критерия качества в виде минимизации средней квадратической ошибки z_CK через параметры системы и спектральные характеристики задающего и возмущающего воздействий.

где К_р Tj представляют собой коэффициенты усиления и постоянные времени звеньев системы; С₍ — постоянные, характеризующие спектральные плотности действующих на систему сигналов.

Так как величина z_CK — функция многих переменных, выбор оптимальных значений параметров, минимизирующих ошибку, осуществляется на основе решения системы уравнений

Как правило, при проектировании САУ характеристики элементов, входящих в ее состав, известны и их значения изменять нежелательно. Поэтому задача минимизации ошибки z_CK достигается путем подбора одного-двух параметров корректирующего звена.

Пример 1.6. На вход замкнутой системы с единичной обратной связью, с передаточной функцией в прямой цепи W (p) =-,.

ра+рт)

параметры которой КиТ неизвестны, действуют задающий сигнал x (t) и возмущениеДО, некоррелированные между собой. Спектральные плотности сигнала и помехи, соответственно,.

Необходимо найти такие значения параметров КиТ, при которых значение средней квадратической ошибки было бы минимальным. Ошибка равна разности между сигналом на выходе системы и задающим сигналом на входе системы.

Решение. Изображение по Лапласу ошибки системы.

Спектральная плотность ошибки.

На основании выражений (1.21)—(1.23) можно определить среднюю квадратическую ошибку:

Частные производные от последнего выражения по параметрам К и Т позволяют составить систему уравнений для определения оптимальных значений этих параметров:

В заключение этого параграфа следует отметить, что наряду с критерием минимизации средней квадратической ошибки иногда используются другие критерии оптимальности: критерий минимального среднего риска, критерий идеального наблюдателя, минимаксный критерий, критерий минимальной сложности и т. д. [1]. Применение большинства из них связано с использованием сложного математического аппарата и часто приводит к физически нереализуемым корректирующим устройствам.