Решение уравнений Максвелла для идеального диэлектрика без зарядов

Для рассматриваемого случая уравнения Максвелла имеют следующий вид:

где.

i_x, K>h -°P^TbL.

Запишем первое уравнение более детально. Левая часть.

Правая часть.

Приравняем проекции векторов в левой и правой частях. Получим три уравнения.

Для упрощения полагаем, что поле меняется только.

dЕ &Ё _Л dH dH _л ,

вдоль оси z, поэтому — = — = 0,-=-=0, таким оора;

cLc dy dx dy.

зом, уравнения для проекции становятся проще Аналогичным образом, раскрывая второе уравнение Максвелла, получим еще три уравнения.

Проанализируем третье и четвертое уравнения Максвелла.

₀ d Е, _ бЯ, Откуда получаем, что —-— = 0 и —г^~ = 0.

cl z d z.

Итак, при сделанных допущениях получается, что проекции векторов Е_: и Я. на ось z в отличие от других проекций не изменяются ни во времени, ни по координатным осями. Это означает, что их нет, т. е. E_z = 0 и Н. = 0.

Из оставшихся четырех уравнений первое и пятое связывают проекции Е_х и Я, а второе и четвертое — Е и Н_х. Таким образом, можно сделать вывод, что решением уравнений Максвелла для идеального диэлектрика при сделанных допущениях является поле, содержащее две взаимно перпендикулярные составляющие Е_х и Я (или Е_у и Я_д), эти составляющие связаны первым и пятым уравнениями. Составим одно уравнение для проекции Я .

С этой целью первое уравнение продифференцируем по z, а пятое по t. Объединяя их, получаем.

Это уравнение называется волновым, поскольку его решением являются волновые функции, бегущие в прямом и обратном направлении оси со скоростью, а именно H_y^t~— 1 — прямая волна и H_v^t + — j — обратная волна, при этом зависимость Н_у от t определяется формой колебаний напряженности поля, создаваемой источником.

Волновое уравнение для Е_х, аналогичное (П. 3.1), можно получить, дифференцируя первое по времени, а пятое по координате z.

Рассмотрим связь Н с Е_х.

Из первого уравнения Максвелла следует, что.

для прямой волны проекции Е_х и Н — функции перемен;

Z У

ной U = t —, поэтому.

V

и

Выполнение этого равенства в любой момент времени t в любой точке z возможно при условии.

или

где имеет размерность Ом и называется волновым сопротивлением среды.

Для вакуума.