Трехфазные цепи. 
Основы теории цепей

В промышленности и в быту для электроснабжения потребителей используются преимущественно трехфазные цепи. Широкое распространение трехфазных систем объясняется главным образом тремя основными причинами:

• 1) передача энергии на дальние расстояния трехфазным током экономически более выгодна, чем переменным током с иным числом фаз;
• 2) элементы системы — трехфазный синхронный генератор, трехфазный синхронный двигатель и трехфазный трансформатор — просты в производстве, экономичны и надежны в работе;
• 3) система обладает свойствами неизменности значения мгновенной мощности за период синусоидального тока, если нагрузка во всех трех фазах трехфазного генератора одинакова.

Трехфазные цепи являются частным случаем разветвленных цепей и их можно рассчитывать общими методами. Однако для некоторых (симметричных) режимов имеются более простые методы расчета.

Под трехфазной симметричной системой ЭДС понимают совокупность трех синусоидальных ЭДС одинаковой частоты и амплитуды, сдвинутых по фазе на 120°. Графики их мгновенных значений изображены на рис. 3.27, а, векторная диаграмма — на рис. 3.27, б. Принцип получения трехфазной системы ЭДС иллюстрирует рис. 3.27, в. В равномерно магнитном поле с постоянной угловой скоростью вращаются три одинаковые жестко скрепленные друг с другом катушки. Плоскости катушек смещены в пространстве друг относительно друга на 120°. В каждой катушке наводится синусоидальная ЭДС одинаковой амплитуды. По фазе ЭДС катушек сдвинуты на 120°. Аналогичным путем можно получить систему ЭДС с любым количеством фаз. На практике наиболее распространена трехфазная система.

Рис. 3.27. Трехфазная система ЭДС:

а — графики; б — векторная диаграмма; в — схема получения; г — операторы трехфазной системы ЭДС трехфазного генератора обозначают следующим образом: одну из ЭДС обозначают Е_л, на 120° отстающую от нее — Е_в, а Е_с опережает Е_л на 120°.

Последовательность прохождения ЭДС через одинаковые значения (например, через нулевое значение) называют последовательностью фаз.

Условимся комплексное число е^;120, по модулю равное единице, обозначать а и называть оператором трехфазной системы. Тогда а² = е^;240 =.

— е'" ¹²⁰

Три вектора (1, а и а¹) образуют симметричную трехфазную систему (рис. 3.27, г), при этом.

Умножение какого-либо вектора на а поворачивает его без изменения модуля на угол 120° против часовой стрелки. Умножение вектора на а² поворачивает его на угол 240° против часовой стрелки, или, что-то же самое, поворачивает его по часовой стрелке на 120°. С помощью оператора а можно выразить ЭДС Е_в и^{симметричной} трехфазной системы через ЭДС Е_л.

Под фазой трехфазной цепи понимают участок трехфазной цепи, по которому протекает одинаковый ток. В литературе фазой иногда называют однофазную цепь, входящую в состав многофазной цепи. Под фазой будем также понимать аргумент синусоидально изменяющейся значения.

Существуют различные способы соединения обмоток генератора с нагрузкой. Самым неэкономным способом явилось бы соединение каждой обмотки генератора с нагрузкой двумя проводами, на что потребовалось бы шесть соединительных проводов. С целью экономии обмотки трехфазного генератора соединяют по схеме «звезда» или по схеме «треугольник». При этом число соединительных проводов от генератора к нагрузке уменьшается с шести до трех или четырех.

На электрической схеме трехфазный генератор принято изображать в виде трех обмоток, расположенных друг к другу под углом 120°. При соединении по схеме «звезда» одноименные зажимы (например, концы х, у, z) трех обмоток объединяют в одну точку (рис. 3.28, а), которую называют нулевой (или нейтральной) точкой генератора 0. Обмотки генератора обозначают буквами Л, В, С; буквы ставят: Л — у начала первой, В — у начала второй и С — у начала третьей фазы.

Рис. 3.28. Схемы соединений трехфазного генератора:

а — «звезда»; 6 — «треугольник».

При соединении обмоток генератора, но схеме «треугольник» (рис. 3.28, б) конец первой обмотки генератора соединяют с началом второй, конец второй — с началом третьей, конец третьей — с началом первой. Геометрическая сумма ЭДС в замкнутом треугольнике равна нулю, поэтому если к зажимам Л, В, С не присоединена нагрузка, то по обмоткам генератора не будет протекать ток.

Обратим внимание на то, что расположение векторов фазовых ЭДС на комплексной плоскости в виде звезды или треугольника не следует связывать с расположением в пространстве осей трех обмоток генератора.

Пять простейших способов соединения трехфазного генератора с трехфазной нагрузкой изображены на рис. 3.29.

Рис. 3.29. Схемы соединений трехфазной цепи:

a — Y — Y с нулевым проводом; 6 — Y — Y;e — Y — А;г — А — Д;Э — A — Y.

Точку, в которой объединены три конца трехфазной нагрузки при соединении ее по схеме «звезда», называют нулевой точкой нагрузки и обозначают 0'. Нулевым (или нейтральным) проводом называют провод, соединяющий нулевые точки генератора и нагрузки.

Ток нулевого провода обозначают /₀. Провода, соединяющие точки Л, В, С генератора с нагрузкой, называют линейными. Положительное направление тока в линейных проводах берем от точки 0 через точку А к точке 0', а в нейтральном — наоборот.

Схему а (см. рис. 3.29) называют «звезда-звезда» с нулевым проводом; схему б — «звезда-звезда» без нулевого провода; схему в — «звезда-треугольник»; схему г — «треугольник-треугольник»; схему д — «треугольник-звезда».

Токи в линейных проводах называют линейными; их обозначают /_л, 1_В, 1_С. Модули линейных токов часто обозначают /_л (не указав никакого дополнительного индекса), особенно тогда, когда все линейные токи по модулю одинаковы.

Напряжение между линейными проводами называют линейным и часто обозначают двумя индексами, например U_AB (линейное напряжение между проводами А и В); модуль линейного напряжения обозначают U,.

Каждую из трех обмоток генератора называют фазой генератора; каждую из трех нагрузок — фазой нагрузки; протекающие по ним токи — фазовыми токами генератора /ф или соответственно токами нагрузки, а напряжения на них — фазовыми напряжениями (t/ф).

При соединении генератора по схеме «звезда» (см. рис. 3.29, а) линейное напряжение t/" по модулю в V3 раз больше фазового напряжения генератора (t/ф). Это следует из того, что U₄ есть основание равнобедренного треугольника с острыми углами по 30.

В основу формирования ряда трехфазных напряжений, когда последующее напряжение больше предыдущего в 7з раз, положен /3 = 1,73. Приведем часть этого ряда при относительно низких напряжениях: 127, 220, 380, 660 В.

Линейный ток /, при соединении генератора по схеме «звезда» равен фазовому току генератора /_л = /ф и фазовому току нагрузки /, = /ф.

При соединении генератора в треугольник линейное напряжение равно фазовому напряжению генератора (рис. 3.29, б) U_;i = t/ф.

При соединении нагрузки по схеме «треугольник» положительные направления для фазных токов выбирают в соответствии с порядком чередования индексов: первый индекс отвечает точке, от которой ток утекает, второй — точке, к которой ток притекает.

При соединении нагрузки по схеме «треугольник» (см. рис. 3.29, в) линейные токи не равны фазовым токам нагрузки и определяются через них по первому закону Кирхгофа:

При симметричной нагрузке (когда все сопротивления нагрузки одинаковы) линейный ток в треугольнике в V3 раз больше фазного, т. е.

/,= ^З/ф.

Расчет трехфазных цепей при симметричной нагрузке.

«Звезда-звезда». Естественно предположить из соображений симметрии (рис. 3.30), что токи в фазных проводах (1_Л, /_й, 1_С) одинаковы по значению и последовательно смещены по фазе на 120°, т. е.

Ток в нейтральном проводе I_N по закону Кирхгофа равен сумме трех фазных токов.

Сопоставляя последние два выражения, определяем, что при симметричной нагрузке ток в нейтральном проводе равен нулю:

Рис. 330. Трехфазная цепь при симметричной нагрузке:

а — схема; б — векторная диаграмма так как 1 + а + а² = 0. Однако если это так (т.е. /_v = 0), то потенциалы точек 0 и 0' совпадают. Следовательно, полное фазное напряжение генератора подается на последовательно включенные сопротивления Zф и Z и по закону Ома.

Это позволяет вести расчет для одной фазы. В других фазах токи и напряжения будут такими же, но сдвинутыми на угол 120°. При этом в схеме для расчета на одну фазу (рис. 3.31) сопротивление в нейтральном проводе отсутствует, так как ток в нейтральном проводе симметричной трехфазнрй цепи равен нулю. Определив напряжения на сопротивлениях фазы Ц_Лу = I_AZ; U_Aa = I_AZ§ = I_a(Rф + jXф), можно построить диаграмму напряжений для этой фазы (рис. 3.31, б) или сразу диаграмму напряжений для трехфазной цепи (рис. 3.30, б).

Рис. 331. Расчет на одну фазу:

а — схема цепи; б — векторная диаграмма Отсутствие тока в нейтральном проводе при симметричной нагрузке позволяет применять схемы «звезда-звезда без нейтрального провода» для заведомо симметричной нагрузки (например, для трехфазных двигателей). Расчет такой цени выполняется аналогично рассмотренному: составляется схема для одной фазы, определяются напряжения на сопротивлениях фазы и затем строится векторная диаграмма трехфазной цени.

Нагрузка включена по схеме «треугольник». В этой схеме (рис. 3.32, а) напряжения на фазах нагрузки равны линейным напряжениям генератора U_ab = U_AB = U_n. Если сопротивлением проводов можно пренебречь, то линейные токи в нагрузке равны (рис. 3.32, б)

Рис. 3.32. Схема соединений треугольником:

а — вариант графического изображения; б — векторная диаграмма; в — совмещенная векторная диаграмма Обычно векторную диаграмму токов строят, переместив фазные токи в центр тяжести треугольника фазных напряжений (рис. 3.32, в). Тогда линейные токи образуют треугольник (рис. 3.32, в).

Для наглядности диаграмма (см. рис. 3.32, в) построена для случая, когда сопротивления нагрузки активные, Z = R. Тогда фазные токи 4z" 4с> 1_са на диаграмме параллельны фазным напряжениям U_ab, Ufa, U_ca, а линейные токи 1_Ф 4,1_С определяются как разность фазных токов и образуют треугольник, повернутый относительно треугольнику напряжения на угол 30°.

Если сопротивлением линейных проводов нельзя пренебречь (рис. 3.33), для расчета цепи заменяют схему треугольника схемой «звезда». При этом сопротивление нагрузки в схеме «звезда» уменьшают в 3 раза. Получается схема, аналогичная схеме на рис. 3.30, в, которая также рассчитывается на одну фазу. При этом сразу определяются линейные токи 1_а, 4,4- Фазные токи по модулю в л/З раз меньше линейных и опережают их на угол 30°.

Пример 3.11.

В цепи (рис. 3.33) линейное напряжение на зажимах генератора U_AB = 220 В, сопротивление линейных проводов Z_Jl = 10 Ом, сопротивление фаз нагрузки Zab ⁼ Zbc ⁼ Zca ⁼ «^ЗО Ом. Определить фазный ток 4<�ь и линейное напряжение на нагрузке U^.

Рис. 3.33. Электрическая схема к примеру 3.11.

Решение. Заменим схему «треугольник» на эквивалентную схему «звезда», тогда сопротивления фаз нагрузки уменьшатся в 3 раза:

В полученной схеме «звезда» расчет ведем на одну фазу (рис. 3.31, а). При этом вместо линейного напряжения Цв используем фазное напряжение, которое в V3 раз меньше, т. е. U_A0 = 127 В. Определяем линейный ток.

Фазный ток 1_аЬ и 73 раз меньше и опережает на угол 30°:

Линейное напряжение на нагрузке равно фазному:

Мощность трехфазной симметричной цепи. При симметричной нагрузке, соединенной по схеме «звезда», мощность одной фазы.

а полная потребляемая мощность в 3 раза больше:

Эти выражения определяют и активную, и реактивную мощности симметричной трехфазной системы. В нагрузке, соединенной по схеме «звезда», линейный ток /_л равен фазному /_А; линейное напряжение U_n в 73 раз больше фазного U_A. Поэтому полная мощность может быть определена через линейные токи, но формуле.

Активная мощность трехфазной симметричной цепи.

Заметим, что в этой формуле (р = Z. U_A, I_A — сдвиг по фазе между фазными напряжением и током.

К той же формуле приводит расчет мощности при нагрузке, соединенной в симметричный треугольник. Мощность, потребляемая всем треугольником:

В этом случае линейное напряжение U, равно напряжению 11_лв, а линейный ток /, в S раз больше тока 1_АВ в любой из сторон треугольника. Переходя к линейным напряжению и току, приходим к прежней формуле, в которой (р — сдвиг по фазе между фазными напряжением и током (в ветвях треугольника).

Несимметричные режимы в трехфазных цепях При несимметричных режимах работы трехфазных цепей сопротивления фаз не равны друг другу.

В схеме «звезда-звезда» с нейтральным проводом Z, # Z/, ^ Z_r. Из-за наличия нейтрального провода каждая фаза оказывается автономна и токи оказываются различными.

При этом сумма этих токов не равна нулю и в нейтральном проводе появляется ток.

Большим преимуществом этой схемы является то, что напряжения на фазах нагрузки остаются неизменными и не зависящими от сопротивления нагрузки.

В схеме «звезда-звезда» без нейтрального провода при несимметричной нагрузке расчет ведется методом двух узлов.

Напряжение между нейтральными точками называют напряжением смещение нейтрали. При этом напряжение на фазах нагрузки оказывается различным (не равным номинальному — в одной фазе пониженным, в другой — повышенным):

Это может привести к выходу из строя устройства, оказавшиеся иод повышенным напряжением.

В схеме «треугольник» токи в фазах при несимметричной нагрузке различны:

но напряжения остаются неизменными (номинальными). Линейные токи определяют по закону Кирхгофа.