Задачи оптимального наблюдения

Задачи оптимального наблюдения могут быть поставлены следующим образом. Имеется ненаблюдаемое движение x (t) и наблюдаемый процесс y (t) — Распределение вероятностей процесса y (t) зависит от некоторого количества изменяемых параметров. Требуется выбрать указанные параметры таким образом, чтобы оценка вектора x (t) по результатам наблюдений у (s), 0 < s < t, была бы в некотором смысле оптимальной.

Наиболее изучена указанная задача для случая, когда уравнение движения и процесс наблюдения за ним линейны и имеют вид (3.37), (3.38). Предположим далее, что матрица g (t), именуемая составом измерений, и матрица ст₀(Г), именуемая точностью измерений, могут изменяться в некоторых пределах. Требуется выбрать эти матрицы таким образом, чтобы минимизировать дисперсию величины q’x (T), где q — заданный нулевой вектор. Вычисляя, получим, что дисперсия величины q’x (T) равняется q’x{T)q, где матрица D (T) описывается уравнением (3.50). Поэтому выбор оптимальных программных функций a₀(t) и g (t) осуществляется в результате решения задачи оптимального управления детерминированной системой (3.50).

Разъясним сказанное подробнее с помощью построения оптимальной программы наблюдения для следующей модельной задачи. Пусть движение системы и процесс наблюдения за ним описывается скалярными уравнениями.

Постоянные a, a, aj Ф 0 — заданы, а стандартные винеровские процессы? и взаимно независимы. Случайная гауссовская величина х₀ не зависит от процессов ?, и Е,₀, причем ее математическое ожидание т₀ и дисперсия D₀ > 0 заданы.

В каждый момент времени наблюдатель может либо производить наблюдение, либо нет, причем суммарная длительность времени проведения наблюдения задана и равна Г₀. Другими словами, функция h (t) в уравнении наблюдения (3.64) равна либо нулю, либо единице, причем.

Функцию h (t) надлежит выбрать так, чтобы минимизировать функционал.

где условная дисперсия величины x (t) дана при условии, что проведено наблюдение y (s), 0 < s < t.

Оптимальный закон наблюдения в этой задаче формулируется следующими утверждениями.

1. Если a > 0, то существует такое число tj < ТТ₀, что оптимальный закон наблюдения /i₀(t) равен fr₀(t) = 1 при t е (f_1; + Т₀] и h₀(t) = 0.

Для te (tj, tj + Г₀].

• 2. Если а < 0, но 0 < D₀ < -2a)^_Ia², то также существует только один интервал t е (t_1; tj + Т₀], где /i₀(t) = 1.
• 3. Если а < 0 и D₀ > -(2a)^_1a², то найдется такое 5₀, что h₀(t) = 1 при 0 < t < s₀ и при Т — Т₀ + 5₀ < t < Т, а для t е (s₀, Т-Т₀ + s₀) функция h₀(t) = 0.

Для доказательства рассмотрим последовательно все три случая.

Положим z (t) = С учетом (3.50) получаем следующее уравнение для z (t):

Минимизируемый функционал примет вид.

В силу принципа максимума Понтрягина, применяемого к задаче (3.66), (3.67), где в качестве управления берется h (t), имеем.

где постоянная С выбирается так, чтобы выполнялось условие (3.65), a Y (t) удовлетворяет уравнению.

Записывая решение (3.69) по формуле Коши, заключаем, что Т (0 > 0,.

Предположим теперь, что существуют несколько интервалов (t" s,), не примыкающих друг к другу, где h₀(t) = 1. Покажем, что это приводит к противоречию. Установим, что Y (t) убывает при s, < t < t_i+1. Обозначим.

В силу уравнения (3.68) и сделанного предположения имеем Поскольку.

то из уравнения (3.69) следует, что

Но в силу уравнений (3.66) и (3.69) поэтому в силу уравнения (3.71).

Однако монотонное убывание Y (t) при s, — < t < t_i+1 противоречит из-за уравнения (3.68) предположению о том, что (t_i+1, s_;+1] — интервал наблюдения. Тем самым утверждение 1 установлено.

Пусть z_T(t) — решение уравнения (3.69) при V (t) = 0, t > т и начальном условии z_t(t) = z₀. Ввиду уравнения (3.66) функция z_t(t):

• — монотонно возрастает, если Zq¹ >-s²(2a)^_1 >0;
• — монотонно убывает, если 0<�гц^г <-s²(2a)^_1, причем lim zx (t) < < -2aa², t —" «о. Ясно также, что если z₀ = z (т), то

Предположим теперь, что существует несколько не примыкающих друг к другу интервалов наблюдения (t" s,). Из уравнения (3.66) вытекает оценка.

Действительно, если D₀ < -a²(2a)^-1, то оценка (3.73) следует из неравенства (3.72) при т = 0 и свойств z₀(t), в силу которых z₀(t) > -2сг², 0 < t < Т. Если же D₀ = -ст²(2а)^-1, то из уравнения (3.66) следует, что z (s₍0 > -2аа~². В силу (3.72) при т = s, заключаем, что оценка (3.73) справедлива. Из выражений (3.66), (3.73) и равенства h₀(t) = 0 при 5; < t < t_i+1 получаем, что z₀(t)=0. Значит, в силу уравнений (3.70), (3.72) сопряженная переменная Y (t) монотонно убывает при s, < t < t_i+1.