Иллюстрация метода. 
Электротехника (теория электрических цепей)

Рассмотрим свободные колебания в контуре с нелинейной емкостью в отсутствие затухания, описываемого уравнением [50]:

При ^ 1 и у «1 для дифференциального уравнения.

(10.6.10) укороченные уравнения (10.6.7) имеют вид.

После вычисления интегралов получаем или.

Для стационарных движений (состояний) и = q_v v — b_r u'=v' = 0, и тогда.

Здесь 2 = и² + v² — квадрат амплитуды искомого колебания.

Не прибегая к решению полученной системы укороченных уравнений, рассмотрим возможные движения в системе. Для стационарного состояния (и' = V¹ — 0) из (10.6.10) следует два условия:

• • условие Uq = v^ = 0, которому соответствует состояние покоя;
• • условие (¾)yz₀ = которому соответствуют стационарные колебания с постоянной амплитудой А₀ = Vzq. Поскольку обобщенная расстройка ?, = (со² — со₀²)/со², получаем со² = = (о₀²/11 «(¾)yz₀|, где г₀ задается начальными условиями, создающими в системе определенный исходный запас колебательной энергии; со₀ — резонансная частота колебательного контура; со — частота стационарных колебаний. Зависимость частоты со свободных (незатухающих) колебаний от амплитуды А₀ = Vzq отражает неизохронность рассматриваемой нелинейной системы.

Другой вариант метода. Рассмотрим теперь другой вариант метода медленно меняющихся амплитуд с переходом от исходных координат х и х' к новым переменным — амплитуде А и фазе 0, которые также являются медленными переменными в масштабе времени т.

Очевидно, что и = A cos 0, v = -A sin 0 и А² = и¹ + a²; tg 0 = -v/u, где и и v — медленно меняющиеся амплитуды; А и 0 представляют собой соответственно полярные координаты описывающей точки на плоскости переменных и и v. Поскольку переменные и н v — медленные функции времени т, то и амплитуда А, и фаза 0 также медленно меняются со временем (т).

Можно искать решение исходного уравнения (10.6.1) в виде полагая при этом, что.

а амплитуда А и фаза 0 являются медленными переменными в масштабе времени т.

Следует обратить внимание на то, что выражение (10.6.13) для х' не является производной х (10.6.12) по времени т, которая имеет вид.

Из (10.6.12) и (10.6.13) следует условие.

которому соответствует принятое допущение (10.6.13).

Если производную х' (10.6.14) продифференцировать по т, а затем х, х', х" подставить в (10.6.1) с учетом (10.6.12), (10.6.13), (10.6.15), то получим точную систему из двух дифференциальных уравнений.

в которой /1(т) и 0(т) являются медленными функциями времени т. Это позволяет усреднить правые части (10.6.16) за период, полагая, что Л и 0 не изменяются. После усреднения получаем.

где, а = т + 0.

Таким образом, вместо системы укороченных уравнений (10.6.7) получена система (10.6.17), которая в ряде случаев упрощает нахождение стационарных решений [50].