Уравнение неразрывности (сплошности)

Запишем уравнение материального баланса (закон сохранения массы) для прямоугольного параллелепипеда (рис. 2.3) объемом dV=dxdydz, выделенного в движущейся жидкости со скоростью со_х, со_у, а)_г для бесконечно малого промежутка времени dt [7, 17]. Предполагается отсутствие источников и стоков внутри контура исследуемого объема, а также возможность изменения плотности (р) во времени (/) и пространстве (x, y, z).

В соответствии с обозначениями (рис. 2.3) имеем:

В правой части уравнения материального баланса приведено изменение во времени массы в объеме dV вследствие изменения плотности жидкости в этом объеме.

После соответствующих преобразований получим:

Рис. 2.3. К выводу уравнения неразрывности.

Это уравнение неразрывности потока (сплошности) сжимаемой жидкости в динамике.

или Величина рсо — вектор массовой скорости.

Уравнение (2.38) в векторной форме имеет вид.

Это уравнение показывает, что возрастание плотности неподвижного элемента объемом dV равно скорости втекания массы в этот элемент на единицу объема.

Член (у • pcoj называют дивергенцией рсо и иногда записывают как.

div рсо. Заметим, что вектор рсо представляет собой поток массы и его дивергенция есть скорость растекания (истечения) массы на единицу объема.

Уравнение (2.38) можно записать в другой форме. Произведем дифференцирование правой части этого уравнения и перенесем все производные р в правую часть. В результате получим.

Левая часть этого уравнения представляет собой субстанциальную производную, поэтому это уравнение можно представить в следующей форме:

Уравнение сплошности в этой форме описывает скорость изменения плотности, как ее видел бы наблюдатель, перемещающийся вместе с жидкостью.

Интегрирование уравнения (2.38) с конкретными условиями однозначности приводит к закону сохранения массы в интегральной форме.

Применительно к ряду частных случаев общее уравнение (2.38) существенно упрощается.

Для стационарных (установившихся) процессов (dp/dt = 0) имеем:

В случае однонаправленного движения жидкости (допустим вдоль оси д:), (о_у — со_х = 0, а из уравнения (2.38) имеем.

а если движение является еще и стационарным, то.

Для несжимаемой капельной жидкости (когда p=const и вынести его из-под знака производной) уравнение (2.38) примет вид:

а для однонаправленного движения несжимаемой жидкости:

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

Уравнения неразрывности в нескольких координатных системах

Прямоугольные координаты (х, у, z):

Цилиндрические координаты (г, <�р, z):

Сферические координаты (г, 0, <�р):