Расчет переходных процессов в нелинейных цепях методом переменных состояния на ЭВМ

Рассмотрим методику расчета, используя понятия дифференциальной индуктивности индуктивной катушки Ь_{ДИ (}ьШ = — и дифференци;

^т di

альной емкости С_ДИф (и_с) = -^- нелинейного конденсатора.

Если вебер-амперная характеристика нелинейной индуктивности i =

= ash (3|/, то 1_ли<ь (0 =-, =. Если кулон-вольтная характеристика.

a (3vl + (i/a)²

конденсатора и_с= ashbq, то С_диф (н_с) =-,.

Пример 163.

Составить систему уравнений по методу переменных состояния для схемы на рис. 16.4 при нулевых начальных условиях и указанных на рисунке положительных направлениях отсчетов токов и напряжений.

Рис. 16.4.

Решение. Из уравнения ц -i₂ + i₃ следует.

тх di

Из уравнения — + и_с=Е имеем Искомая система уравнений:

Значения 1_ДИф (0 и С_ДИф (и_с) на (к + 1)-м шаге интегрирования подсчитывают по значениям i и и_с на к-м шаге.

Метод медленно меняющихся амплитуд

В электрои радиотехнике для расчета переходных процессов широко применяют метод медленно меняющихся амплитуд. Этот метод был предложен в 1921 г. голландским ученым Ван-дер-Полем.

Рассмотрим основы этого метода на примере нелинейной цепи второго порядка, находящейся под воздействием периодической возмущающей силы.

Пусть уравнение этой цепи записано следующим образом:

Под действием периодической силы с частотой со в цепи устанавливается вынужденное колебание, первая гармоника которого имеет частоту со. Полагаем, что высшие гармоники выражены слабо.

Искомая функция x (t) может быть представлена как.

где а и Ъ — медленно меняющиеся во времени амплитуды искомого колебания.

Медленность изменения а и b во времени определяется тем, что их производные по времени являются величинами первого порядка малости по сравнению с произведениями асо и Ьсо:

Если это учесть, то, вместо того чтобы взять можно в первом приближении принять.

Аналогично, вместо того чтобы вторую производную брать в виде.

пренебрежем в ней слагаемыми второго порядка малости (учтем, что d²a da d²b db

—— «со— и —-<�зссо—) и оставим слагаемые первого порядка мало- dt² dt dt² dt

сти. В результате получим.

Обратим внимание на то, что слагаемые первого порядка малости оставлены в выражении для d²x/dt² и их не учитывают в выражении для dx/dt. Объясняется это тем, что исследуемая цепь обладает малыми потерями, поэтому амплитуда второго слагаемого левой части (16.14) относительно мала по сравнению с амплитудами первого и третьего слагаемых левой части (16.14).

В функцию/(х) вместо х подставим его выражение по (16.15) и разложим/(х) в ряд Фурье. Затем умножим ряд Фурье, которым выразилось/(х), на dx/dt (на правую часть (16.18)). Таким образом,.

Так как расчет ведется по первой гармонике, то постоянной составляющей F₀(a, b) и высшими гармониками ряда Фурье (F₃(a, b), F₄(a, b) и др.) в дальнейшем пренебрегаем.

В (16.14) подставим правую часть (16.19) вместо d²x/dt², F^a, b) sin cot + F₂(a, b) coscot вместо f (x)dx/dt и co§(asincot + bcoscot) вместо co§ x.

Тогда (16.14) можно разбить на два уравнения. Одно из них (уравнение (16.21)) будет выражать собой равенство коэффициентов при cos соt в левой и правой частях (16.14), другое (уравнение (16.22)) — равенство коэффициентов при sin cot в левой и правой частях (16.14):

Система уравнений (16.21)—(16.22) представляет собой два совместных дифференциальных уравнения, составленных относительно мгновенных значений медленно меняющихся амплитуд а и Ь.

В общем случае решение этой системы может проводиться методом малого параметра или методами численного интегрирования. В частном случае, когда внешняя периодическая сила равна нулю (А = 0) и функция (а, Ь) = 0, система сводится к одному дифференциальному уравнению первого порядка.

Ранее были рассмотрены основные этапы перехода от дифференциального уравнения для мгновенных значений (уравнение (16.14)) к дифференциальным уравнениям для медленно меняющихся амплитуд. Метод применим и к уравнениям более высоких порядков.

В заключение необходимо отметить, что если максимальное значение слагаемого f (x)dx/dt в (16.14) (и подобных ему), выражающее собой падение напряжения в активном сопротивлении контура (контуров), соизмеримо с максимальными значениями остальных слагаемых (16.14), то в выражении dx/dt должны быть сохранены слагаемые первого порядка малости, которыми ранее пренебрегли. Огибающая колебаний определяется уравнением

Пример 164.

Определить закон нарастания амплитуды напряжения на сетке в ламповом автогенераторе (рис. 16.5).

Рис. 16.5.

Решение. В соответствии с обозначениями на рис. 16.5 составим уравнение по второму закону Кирхгофа для сеточной цепи:

du_r

Подставим в него i = С——. Получим dt

Анодный ток i_a выразим через напряжение сетки (см. (15.39)):

Но — = (а' - 3Подставим — в (16.24): dt dt dt

Поделим последнее уравнение на LC — 1/со§, где со₀ — угловая частота автоколебаний, и обозначим.

Получим.

Примем.

Тогда.

Множитель -/с₁(1 — х²) и представляет собой функцию/(х) уравнения (16.14). Так как на систему не действует внешняя периодическая сила и частота автоколебаний равна со₀, а не со, то примем.

Подставим (16.28) и (16.29) в (16.27) и учтем, что sin²co₀tcos co₀t = = O, 25(cosoo₀tcos3co₀t):

Так как расчет ведем по медленно изменяющейся по амплитуде первой гармонике, то слагаемое с cos3co₀t не учитываем. Следовательно,.

Введя новую переменную у = 0,25а², получим.

Уравнение (16.31) — это уравнение с разделяющимися переменными: где 1пС₀ — постоянная интегрирования;

Амплитуда напряжения на конденсаторе изменяется во времени следующим образом:

Постоянную интегрирования С_г определим по начальному значению. Если при t-0U_c— U_c{0_), то.

Мгновенное значение напряжения на конденсаторе