Классификация цифровых фильтров

Цифровые фильтры разделяют на трансверсальные и рекурсивные.

В трансверсальных фильтрах обработка сигналов происходит по алгоритму.

Трансверсальными их называют потому, что они содержат элементы сдвига гг¹, расположенные перпендикулярно (транверсально) по отношению к пути следования сигнала (рис. П8.4).

Рис. 8.4.

После учета запаздывания получим

Передаточная функция фильтра равна отношению массива у_к к массиву х_к:

Коэффициенты а зависят от значений x (t) в моменты дискретизации и от интервала дискретизации Т. Значения импульсной характеристики /|^§(п) (т. е. набор единиц и нулей) без изменений каждый раз сдвигаются на единицу вправо. Число слагаемых h⁵(ri) у трансверсального фильтра равно числу т (конечно), поэтому их называют еще фильтрами с конечной импульсной характеристикой.

В рекурсивных фильтрах выходной сигнал создается не только последовательной совокупностью входных сигналов х_к, х_к__ь х_к_₂, …, как в трансверсальном фильтре, сдвинутых по времени, но и последовательной совокупностью выходных сигналов у_к, у_к__ь у_к_₂, …, также сдвинутых на свое время запаздывания. Таким образом, рекурсивный фильтр — это в общем случае система с многопетлевой обратной связью. Алгоритм обработки сигналов в рекурсивном фильтре таков:

Структурная схема рекурсивного фильтра изображена на рис. П8.5, нижняя часть рис. П8.5 осуществляет обратную связь.

Рис. П8.5

Перепишем алгоритм обработки с учетом запаздывания:

Из него следует, что передаточная функция K (z) рекурсивного фильтра.

Импульсная характеристика /i⁸(n) рекурсивного фильтра за счет обратной связи теоретически имеет очень большое число слагаемых^[1], поэтому рекурсивные фильтры именуют еще фильтрами с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-фильтры). В ячейках памяти рекурсивного фильтра хранятся значения предшествующих состояний х_п и у_п.

Алгоритм получения передаточной функции цифрового фильтра

В руководствах по аналоговым фильтрам [11,17] приведены таблицы полиномов знаменателя передаточной функции К (р) низкочастотных аналоговых фильтров, аппроксимированные различными способами (по Чебышёву, Баттерворту, Бесселю и др.). Частота среза со_с в этих таблицах принята равной 1 (нормирована). Полиномы подсчитаны при заданном максимальном отклонении модуля К (р) в полосе пропускания от 1 и заданном затухании в полосе затухания при со = fcw_c (задано k > 1).

Алгоритм получения K (z) цифрового фильтра, основанный на инвариантности импульсной переходной характеристики, включает следующие этапы:

• 1. По заданным требованиям к цифровому фильтру выписываем из таблиц К (р) аналогового фильтра, полагая, что он должен удовлетворять тем же требованиям по затуханию и по максимальному отклонению, что и цифровой.
• 2. Если К (р) аналогового фильтра может быть представлен в виде

м А,

К (р)= Y, —-—₃ то переход к К (г) осуществляют по формуле k=iP~Pk

• 3. Если К (р) может быть представлен в виде —— и полюса
• (р + а)² + Ь

Up) р_{: 2} = ±jco₀, то K (z) цифрового фильтра.

Рассмотрим пример. Пусть аналоговый фильтр — прототип второго порядка при аппроксимации по Баттерворту (см. параграф 10.11) — 1.

имеет кар) =-,, корни полинома р_г 2 = ~^а ± ja, где а = 0,707;

р² +л/2р + 1.

Используя соответствующую формулу (параграф П7.1), имеем:

При Т = 1 с.

• [1] Слагаемые, из которых состоит характеристика h8(n) рекурсивного фильтра, получим, разделив числитель формулы (П8.2) на ее знаменатель.