Теорема компенсации. 
Теоретические основы электротехники. 
Том 1. Электрические цепи

Рассмотрим два варианта этой теоремы. В любой электрической цепи без изменения токораспределения сопротивление можно заменить:

• 1) источником ЭДС, ЭДС которого численно равна падению напряжения на заменяемом сопротивлении и направлена встречно току в этом сопротивлении;
• 2) источником тока J, ток которого численно равен току в этом сопротивлении и имеет то же направление, что и ток I.

Для доказательства теоремы компенсации выделим из схемы одну ветвь с сопротивлением R, по которой течет ток I, а всю остальную часть схемы условно обозначим прямоугольником (рис. 2.19, а).

Рис. 2.19

Если в выделенную ветвь включить два одинаковых и противоположно направленных источника ЭДС Е, ЭДС которых равна падению напряжения на сопротивлении R под действием тока I (Е = IR; рис. 2.19, б), то ток I в цепи от этого не изменится. Убедимся, что разность потенциалов между точками, а и с на рис. 2.19, б при этом равна нулю. Действительно,.

Если ф_с = ср_а, то точки, а и с можно объединить в одну, т. е. закоротить участок ас и получить схему, где вместо сопротивления R включен источник ЭДС Е (рис. 2.19, в).

Схема, соответствующая второму варианту теоремы, изображена на рис. 2.19, г. Чтобы прийти к ней, заменим последовательно соединенные R и Е на участке ас (см. рис. 2.19, б) параллельным соединением источника тока J = E/R = I и сопротивления R. Так как U_ac = О, то ток через R будет отсутствовать и потому R можно удалить из схемы.

Если ЭДС Е участка Ъс включить в состав источника тока, то получим схему, где напряжение U_ba = -IR (см. рис. 2.19, г).

Пример 17

На схеме (рис. 2.20, а) даны значения R (Ом), ЭДС Е_г (В) и токов I (А). Заменить R₃ источником ЭДС и источником тока.

Рис. 2.20.

Решение. На рис. 2.20, б изображена схема с источником ЭДС Е = 2 В, а на рис. 2.20, в — с источником тока J — 2 А.

Линейные соотношения в электрических цепях

Если в линейной электрической цепи изменяется ЭДС или сопротивление в какойлибо одной ветви, то две любые величины (токи и напряжения) двух любых ветвей связаны друг с другом линейными зависимостями вида.

Функцию х выполняет ток или напряжение одной ветви, функцию у — ток или напряжение другой ветви.

Доказательство. Согласно методу контурных токов общее выражение для тока в /с-ветви записывают в виде (2.18). Если в схеме изменяется только одна ЭДС, например ЭДС Е_т, то все слагаемые в (2.18), кроме слагаемого E_mg_km, постоянны и могут быть для сокращения записи заменены некоторым слагаемым А_к.

Следовательно,.

Аналогично для р-ветви.

Найдем Е_т из (2.24):

и подставим в (2.23). Получим.

где а_к — А_к — Apg_km, Ъ_к — g_km/Spm"

Коэффициенты а_к и Ъ_к могут быть ^ 0. В частном случае либо а_к, либо Ь_к может быть равно нулю.

Равенство (2.25) свидетельствует о том, что при изменении ЭДС Е_т токи 4 и 1_р связаны линейной зависимостью. Из теоремы компенсации известно, что любое сопротивление можно заменить источником ЭДС. Следовательно, изменение сопротивления в m-ветви эквивалентно изменению ЭДС Е_т. Таким образом, линейное соотношение между двумя любыми токами (2.25) имеет место при изменении не только ЭДС Е_т, но и сопротивления некоторой т-ветви.

Если обе части (2.23) умножить на сопротивление /с-ветви R_k и проделать аналогичные выкладки, то можно убедиться в том, что напряжение /с-ветви линейно связано с током в р-ветви.

Коэффициенты а_к и Ь_к из (2.25) и в других подобных выражениях могут быть найдены расчетным или опытным путем.

При опытном определении коэффициентов достаточно найти значения двух токов (соответственно, напряжений) при двух различных режимах работы схемы и затем решить систему из двух уравнений с двумя неизвестными. Пусть, например, в первом опыте I_k = 1_к1 и 1_Р = 1_Р1, а во втором 4 = 1_к2 и = 1_р2.

Тогда.

Если в схеме одновременно изменяются ЭДС или сопротивления в каких-либо двух ветвях, то любые три величины в этой схеме (токи, напряжения) связаны друг с другом линейным соотношением вида у = а + bx + cz.

Доказательство этого соотношения проводится аналогично приведенному ранее.

Пример 18.

На рис. 2.21, а изображена схема, в которой выделены три ветви. В ветви I включен амперметр А_ь в ветви 2 — амперметр А₂. В ветви 3 имеются ключ К и сопротивление R₃. Если К разомкнут, то амперметр А_г показывает 1 А, амперметр А_г — 5 А. При замкнутом ключе амперметр А, показывает 2 А, а амперметр А_г — 4 А. При замкнутом ключе сопротивление R₃ изменили так, что показание амперметра А_г стало 4,5 А. Каково показание амперметра А_г в этом режиме?

Решение. Выразим 1_г через /₂:1₁=а + Ы₂? Составим уравнения для определения а и Ь.

Рис. 2.21.

Отсюда а-6иЬ = -1. При 1₂ — 4,5А 1_г- 6 — 4,5 — 1,5 А.

Пример 19.

В схеме (рис. 2.21, б) сопротивление R изменяется от нуля до бесконечности. Вывести зависимость напряжения U_cd от напряжения U_ab.

3 rJ

Решение. При разомкнутой ветви ab U_cd = —н/ ^и UаЬ = —• При коротком 3 4 1.

замыкании ветви ab U_cd = —rJ и U_ab — 0. Отсюда а = —rJj и b = —. Следовательно, 4 1.

U_cd = —rJ+—U_ab. ^са 3 3.