Формула Бернулли. 
Закон больших чисел

Формула Бернулли — формула в теории вероятностей, позволяющая находить вероятность появления события A при независимых испытаниях. Формула Бернулли позволяет избавиться от большого числа вычислений — сложения и умножения вероятностей — при достаточно большом количестве испытаний. Названа в честь выдающегося швейцарского математика Якоба Бернулли, выведшего формулу.

Формулировка.

Теорема: Если Вероятность p наступления события Б в каждом испытании постоянна, то вероятность того, что событие A наступит k раз в n независимых испытаниях, равна:, где .

Доказательство Пусть проводится независимых испытаний, причём известно, что в результате каждого испытания событие наступает с вероятностью и, следовательно, не наступает с вероятностью. Пусть, так же, в ходе испытаний вероятности и остаются неизменными. Какова вероятность того, что в результате независимых испытаний, событие наступит ровно раз?

Оказывается можно точно подсчитать число «удачных» комбинаций исходов испытаний, для которых событие наступает раз в независимых испытаниях, — в точности это количество сочетаний из по :

.

В то же время, так как все испытания независимы и их исходы несовместны (событие либо наступает, либо нет), то вероятность получения «удачной» комбинации в точности равна: .

Окончательно, для того чтобы найти вероятность того, что в независимых испытаниях событие наступит ровно раз, нужно сложить вероятности получения всех «удачных» комбинаций. Вероятности получения всех «удачных» комбинаций одинаковы и равны, количество «удачных» комбинаций равно, поэтому окончательно получаем:

.

Последнее выражение есть не что иное, как Формула Бернулли. Полезно так же заметить, что в в силу полноты группы событий, будет справедливо:

.