Стационарные временные ряды

После удаления тенденции (тренда) из временного ряда мы получим стационарный временной ряд. Его можно рассматривать как выборку Т последовательных наблюдений через равные промежутки времени из существенно более продолжительной (генеральной последовательности случайных величин. При этом статистические выводы делаются относительно вероятностной структуры генеральной последовательности. Такую последовательность удобно считать простирающейся неограниченно в будущее и, возможно, в прошлое. Последовательность случайных величин у1, у2… или у-1, у0, у1… называется случайным процессом с дискретным параметром времени.

Несмотря на полную произвольность вероятностных моделей последовательностей случайных величин, полезно отличать случайные процессы от множества случайных величин этого процесса, учитывая понятие времени. Грубо говоря, в случайном процессе наблюдения, разделённые небольшими промежутками времени, близки по значениям в отличие от наблюдений, далеко отстоящих друг от друга во времени. Более того, модель значительно упрощается после расширения конечной последовательности наблюдений до бесконечной.

Одним из таких упрощений является свойство стационарности. Будем считать, что поведение множества случайных величин с вероятностной точки зрения не зависит от времени.

Случайный процесс y (t) с непрерывным параметром времени можно определить для 0? t <? или -? < t <? и рассматривать с привлечением вероятностной меры на пространстве функций y (t). Выборка из такого процесса состоит из наблюдений в конечном числе точек времени, или из непрерывных наблюдений в интервале времени.

Наблюдение процесса, часто называемое реализацией, есть точка в соответствующем бесконечномерном пространстве, где определена вероятностная мера. Вероятность определяется на некоторых множествах, называемых измеримыми. Этот класс множеств включает вместе с любым множеством его дополнение, а также объединение и пересечение счётного числа множеств этого класса; вероятностная мера на этом классе множеств определяется таким образом, что вероятность объединения непересекающихся множеств равна сумме вероятностей отдельных множеств.

Практически мы интересуемся вероятностями, которые связаны с конечным числом случайных величин. Эти вероятности включают в себя функцию совместного распределения.

Применение быстрого преобразования Фурье к стационарному временному ряду

Одно из назначений преобразования Фурьевыделять частоты циклических составляющих временного ряда, содержащего случайную компоненту.

Пусть число данных N представимо в виде N = N1 N2. Тогда можно записать:

t = t1 + (t 2−1)N1, t1 = 1,.. ., N1, t2 = 1,.. ., N2;

j = j1 + j 2N2, j1 = 0,.. ., N2 — 1, j2 = 0,.. ., N1 — 1;

Отметим, что aN — j = aj и bN — j = - bj. Искомые коэффициенты являются соответственно действительной и мнимой частями суммы.