Следствия теорем сложения и умножения
Пример. Имеются три урны с шарами. В первой находится 5 голубых и 3 красных шара, во второй — 4голубых и 4 красных, в третьей — 8 голубых. Наугад выбирается одна из урн и из нее наугад извлекается шар. Какова вероятность того, что он окажется красным (событие). Допустим, что произведено испытание, в результате которого появилось событие. Поставим себе задачу, определить, как изменились в связи… Читать ещё >
Следствия теорем сложения и умножения (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Теорема сложения вероятностей совместных событий
Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:
.
.
Формула полной вероятности
Пусть событие может наступить при условии появления одного из несовместных событий, которые образуют полную группу. Пусть известны вероятности этих событий и условные вероятности .
- -
- — формула полной вероятности.
Доказательство. По условию, событие реализуется лишь при осуществлении любого из несовместных событий …,. Тогда по теореме сложения.
Каждое слагаемое в этой формуле по теореме умножения вероятностей зависимых событий:
Подставляя эти формулы в (*) получим формулу полной вероятности.
Пример. Имеются три урны с шарами. В первой находится 5 голубых и 3 красных шара, во второй — 4голубых и 4 красных, в третьей — 8 голубых. Наугад выбирается одна из урн и из нее наугад извлекается шар. Какова вероятность того, что он окажется красным (событие).
Тогда искомая вероятность.
.
Допустим, что произведено испытание, в результате которого появилось событие. Поставим себе задачу, определить, как изменились в связи с наступлением события, вероятности гипотез, т. е.,, ?
Найдем условные вероятности по теореме умножения вероятностей.
.
Отсюда или.
.
Аналогично выводятся условные вероятности остальных гипотез.
.
Это формулы Бейеса, позволяющие переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие .
Пример. В пяти ящиках находятся одинаковые по весу и размерам ящиках шары. В двух ящиках — 6 голубых и 4 красных шара (ящик состава). В двух других ящиках (состава — по 8 голубых и 2 красных шара. В одном ящике (состава — 2 голубых и 8 красных шаров. Наудачу выбирается ящик и из него извлекается шар. Извлеченный шар оказался голубым. Какова вероятность того, что голубой шар извлечен из ящика первого состава?
Решение. Обозначим через событие, состоящее в том, что голубой шар извлечен из ящика первого состава?
Из условия задачи.
.
Вероятности вынуть голубой шар, если известно, что взяты ящики состава соответственно:
;
В соответствии с формулой полной вероятности:
По формуле Бейеса найдем искомую вероятность.