Некоторые численные методы исследования бифуркаций особых точек и поиск периодических решений

Стоит герою любого романа очутиться перед несколькими возможностями, как он выбирает одну из них, отметая остальные; в неразрешимом романе Цюй Пена он выбирает все разом.

Хорхе Луис Борхес.

Сад расходящихся тропок.

Исследование эволюции особых точек при изменении параметра. Продолжение по параметру

Рассмотрим сначала автономную нелинейную систему ОДУ, зависящую от одного скалярного параметра:

где а — параметр. В данном параграфе мы будем исследовать эволюцию особых точек (положений равновесия) системы (8.1), т. е. таких у*, что f (y', а) = 0. Отметим, что исследование характера особых точек и бифуркаций положения равновесия есть первый этап качественного исследования системы ОДУ (см. гл. 3). Без ограничения общности можно считать, что значение параметра, а изменяется в интервале от нуля до единицы. Мы считаем, что диапазон изменения параметра заранее известен. Пусть к тому же при, а = 0 система нелинейных алгебраических уравнений.

«сравнительно легко» разрешима, все решения (8.2) известны. Фиксируем одно из решений системы (8.2), обозначим его через у‘(0).

При изменении параметра, а происходит изменение координат особой точки в фазовом пространстве. При этом должно выполняться условие f (y (X), X) = 0, и, как следствие предыдущего равенства,.

Из соотношения (8.3) получаем систему ОДУ для определения координат особой точки при изменении параметра.

с начальным условием у (0) = у*(0). В системе (8.4) применено обозначение J^-1 для матрицы, обратной к матрице Якоби правой части системы (8.1).

Система ОДУ (8.4) может быть решена одним из приближенных (численных) методов, описанных в предыдущих главах.

Системы уравнений (8.3) или (8.4) в литературе иногда называют уравнениями Давыденко¹. Конечно, система ОДУ вида (8.4) достаточно легко разрешима методами, описанными в гл. 5 или 6, если только матрица J^-1

( df ^>

не является сингулярной, т. е. det —^1L(y (a), e) >е>0. В случае когда ^< 0f ^.

detг-*-(у (ос), е) «O' т. е. ^в окрестности точки бифуркации системы (8.4),.

1^[1]У; )

методы, описанные в предыдущих главах, становятся неприменимыми. Однако метод продолжения по параметру может быть легко обобщен и на этот случай^[2][3].

Пусть при каком-то (бифуркационном) значении параметра, а выполняется равенство detj = 0. Конечно, при численных расчетах мы должны поставить условие, что по абсолютной величине детерминант матрицы Якоби близок к машинному ?. Включим параметр, а в число фазовых переменных задачи. Считаем теперь, что a = a(t), тогда вместо каждого из уравнений, входящих в систему (8.3), можно написать следующее соотношение:

Определим параметр t как длину дуги кривой в (N+ 1)-мерном фазовом пространстве:

и при t = 0 доопределим начальные условия у = у (0), а = 0. Теперь параметр, а и любая компонента^ входят в уравнение (8.6) равноправно. Фактически мы считаем параметр, а одним из независимых переменных системы. Бифуркационным параметром теперь можно положить, например, y_k и обозначить a = y_N+_x.

Если рассматриваемая особая точка (т.е. точка, в которой матрица, обратная к матрице Якоби, сингулярна) является точкой поворота, то всегда существует такой номер k, что матрица.

полученная из матрицы Якоби системы вычеркиванием k-то столбца, невырожденная. В случае точки ветвления матрица будет вырождена независимо от того, какой номер k выбрать. Если матрица невырождена, то систему (8.5) можно разрешить относительно входящих в нее неизвестных, выразив их через производные dy_k/dt. Тогда получим.

«Назначение на роль» y_k происходит при решении системы линейных алгебраических уравнений (8.5) методом Гаусса с выбором по строкам главного (ведущего) элемента. Если в каком-либо столбце не окажется ведущего элемента, то он и соответствует у_к.

Подставляя найденные зависимости в уравнение (8.6), получим.

причем последнее выражение определяет производную dy_k/dt с точностью до знака. Получившаяся система соотношений (8.7) и (8.8) может быть сравнительно легко проинтегрирована численно.

Подробнее о методах продолжения по параметру можно прочитать в работе М. Холодниока и др.^[4] В частности, подробно разобран алгоритм продолжения по параметру в случае, если особая точка является точкой ветвления. При этом, как уже отмечалось выше, матрица системы получается вырожденной и решение находится в обобщенном смысле. Немного о способах поиска такого рода обобщенных решений будет сказано ниже.

• [1] structures. N. Y.; Berlin; Tokyo: Springer, 1983; Холодниок M. и dp. Методы анализа нелинейных динамических моделей. М.: Мир, 1991.
• [2] Схема рассматриваемого метода впервые была предложена в работе: Давыденко Д. Ф. О новом методе численного решения систем нелинейных уравнений // Доклады Академиинаук СССР. 1953. Т. 88. № 4. С. 601−602.
• [3] Kubicek М., Marek М. Computational methods in bifurcation theory and disipative
• [4] Холодниок М. и др. Указ. соч.