Уравнение Эйлера—Лагранжа. 
Вариационное исчисление и методы оптимизации

В силу перестановочности операций варьирования и дифференцирования можно записать.

Интегрируя по частям второй и третий члены, в предположениях требуемой гладкости получим.

Используя формулу Грина, получим.

Собрав все члены и учитывая условия на границе (6.6), получим следующее выражение для первой вариации:

Путем стандартных рассуждений, аналогичных для одной независимой переменной, находим уравнение Эйлера—Лагранжа:

Краевым условием к этому уравнению служит условие (6.2). Итак, мы получили в общем случае краевую задачу для нелинейного дифференциального уравнения в частных производных для определения экстремальной функции z*(x, У) — Пример 6.1. Рассмотрим функционал.

Уравнение Эйлера—Лагранжа согласно (6.10) приводит к такому уравнению:

т. е. задача о минимуме рассматриваемого функционала оказы.

Рис. 6.1. К задаче о колебаниях стержня.

вается связанной с поиском решения задачи Дирихле^[1] для уравнения Лапласа:

где 5 — координата границы области.

Пример 6.2. Рассмотрим задачу о колебаниях бесконечно тонкого стержня, заделанного на концах, воспользовавшись принципом Гамильтона—Остроградского:

для чего нам требуется найти значения кинетической Т и потенциальной U энергий стрежня. Полагаем, что на стержень с плотностью р (х) (рис. 6.1) действует направленная перпендикулярно к его оси сила F (x, /). Если у (х, t) — величина отклонения точки стержня от положения равновесия, то граничные условия принимают вид:

где L — длина стержня.

Если предположить, что стержень в начальный момент времени находился в состоянии колебания, то начальные условия в момент времени Г = О имеют вид:

где р (х)и v (x) — некоторые заданные функции, характеризующие эти колебания.

Выражение для кинетической энергии элемента стержня dx:

Тогда полная кинетическая энергия всего стержня:

В предположении, что колебания стержня обусловлены внутренней энергией, которая пропорциональна квадрату его кривизны, а сам стержень нерастяжим, получаем такое выражение для внутренней энергии элемента стержня dx:

где величина к (х) харакгеризует упругие свойсгва материала стержня. Если предположить, что отклонения стержня от положения равновесия малы, то квадратом — под корнем можно пренебречь, Эх что приводит к такому выражению для внутренней энергии:

Наличие силы F (x, t) обусловлено потенциалом, который определяется непосредственно отклонением^, т. е. потенциал равен Fy. Таким образом, для внутренней энергии элемента стержня dx получим окончательно.

• [1] Заметим, что именно о данной задаче шла речь в п. 5.7, когда мыговорили о связи задачи о минимуме функционала с проблемой существования решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа, указаннойГильбертом.