Колебания. 
Общая физика

Простые гармонические колебания

Колебание — это движение, при котором тело через определенные промежутки времени возвращается в одну и ту же точку. Система, в которой могут происходить колебания, называется осциллятором.

Колебания могут происходить вдоль одной координатной оси (одномерные), вдоль двух осей (двумерные, т. е. в плоскости) и вдоль трех (трехмерные, в пространстве). Рассмотрим простейшее одномерное колебание.

Пусть из стены торчит горизонтально стержень, и по этому стержню может свободно, без трения перемещаться шарик с просверленным отверстием (рис. 2.68, а). Со стеной он соединен пружиной. Если шарик отклонить от положения равновесия, растянув пружину на расстояние х, то возникнет упругая возвращающая сила F — - кх, направленная всегда в сторону, противоположную отклонению х. При х < 0, т. е. при отклонении влево, сила будет направлена вправо и наоборот.

Напишем уравнение движения этого шарика:

Это дифференциальное уравнение второго порядка (см. главу 1). Его решение легко угадать: функция x (t) должна быть такой, чтобы она, будучи продифференцирована два раза по t, дала саму себя, но со знаком «минус» и с множителем к/т. Это функция.

где х" и ф — произвольные постоянные, которые надо определить из начальных условий, а со₀ должна иметь вид.

Если подставить (2.106) в (2.105), продифференцировав предварительно (2.106) по времени два раза, получится тождество. Следовательно, (2.106) есть решение дифференциального уравнения (2.105). Это означает, что тело будет колебаться по Рис. 2.68, а синусоидальному закону. Отметим, что уравнение типа (2.105) всегда ведет к колебательным решениям по закону синуса. Такие колебания называются гармоническими. Все, что стоит под знаком периодической функции, называется фазой. В нашем случае это (а)"? + <�р).

Рис. 2.68, 6.

Выясним смысл х₀ и (р. Максимальное значение синуса или косинуса равно единице. Следовательно, хо — это максимальная величина х. Она называется амплитудой. Постоянная ф называется начальной фазой, так как это фаза в момент времени t = 0. Если при t = 0 величина х = 0, то при записи (2.106) с синусом ф = 0, при записи с косинусом ф = = к/2. Может так случиться, что отсчет времени начали, когда х было максимальным (шарик оттянули в сторону и в момент t = 0 отпустили). Тогда при записи (2.106) с синусом придется положить ф = тс/2, так как sin (rc/2) = 1.

График x (t) приведен на рисунке 2.69.

Время, через которое шарик вернется в прежнее положение и будет иметь ту же самую скорость, называется периодом Т. Синус (или косинус) имеют период 2л, так что Рис. 2.69.

Величина со₀ называется циклической частотой. Просто частота v = 1/Т, так что О) о = 2лу. За период тело проходит общее расстояние, равное 4х₀. Поскольку кроме возвращающей силы F = - кх на шарик никакие другие силы не действуют, такие колебания называются также свободными, а (0^ = Jk/m — собственной частотой.

Если шарик подвешен на пружине (рис. 2.68, б), кроме силы F = - кх, на него будет действовать сила тяжести Е_тж. Она постоянна (равна mg) и после растяжения на некоторое расстояние будет уравновешена силой реакции пружины. Так что далее колебания будут такими же, как раньше, но около этого смещенного положения равновесия.