Методика обучения решению задач в современной школе

Каждому учителю хорошо известно, какое большое место в начальном обучении математике занимали всегда, да и сейчас продолжают занимать задачи.

Методика обучения детей решению задач претерпела серьезные изменения в связи с введением в начальный курс математики работы над числовыми и буквенными выражениями, равенствами и уравнениями.

По-новому стала оцениваться роль, которую играют задачи в процессе обучения математике, в связи с этим изменилось содержание соответствующей работы (отбор задач, предназначенных для рассмотрения с младшими школьниками, отбор тех способов их решения, с которыми должны быть ознакомлены дети). Коренным образом изменилась система расположения соответствующих упражнений во времени. Совершенно ясно, что в этих условиях существенной перестройке должны подвергнуться и методы обучения детей решению задач.

Отбор задач и тех методов их решения, с которыми учитель должен познакомить учащихся, определены программой. Соответствующие требования программы реализованы в учебниках. В учебниках, благодаря поурочному их построению в основных чертах, намечена, и система распределения соответствующих упражнений во времени и некоторые основные методические направления работы над задачами. И все же, как показывает анализ опыта массовой школы, перестройка в этом отношении проходит с большим трудом.

Учитывая сказанное, представляется важным рассмотреть более подробно, что представляют собой задачи, решаемые в начальных классах школы, в чем заключается специфика этого вида учебных упражнений по сравнению со всеми другими видами математических упражнений, что может и должно дать включение их в курс для достижения тех общих целей, которые он преследует.

Задача — это сформулированный словами вопрос, ответ на который может быть получен с помощью арифметических действий. Рассмотрим основные элементы, из которых состоит каждая задача, и выясним, что значит решить задачу.

Из самого определения задачи вытекает, что в ней обязательно должен быть заключен какой-то вопрос. Без вопроса задачи нет. Поскольку ответ на вопрос задачи должен быть получен в результате арифметических действий, очевидно, в ней должно заключаться требование узнать то или иное число (или числа) — искомое и, кроме того, в задаче должны быть указаны те числа, с помощью действий над которыми, может быть найдено искомое. Поэтому обязательными элементами всякой арифметической задачи являются неизвестное (искомое) число (или несколько искомых чисел) и данные числа (их должно быть не меньше двух).

Основная особенность текстовых задач состоит в том, что в них не указывается прямо, какое именно действие (действия) должно быть выполнено над данными числами для получения искомого. Текст задачи должен, поэтому содержать какие-то косвенные указания на эту связь, которая существует между данными числами и искомым и которая определяет выбор нужных арифметических действий и их последовательность. Это условие задачи. Условие, которое призвано раскрыть связь между данными числами и искомым, естественно включает числовые данные задачи.

Итак, основные элементы задачи — условие и вопрос. Числовые (или буквенные) данные представляют собой элементы условия. Искомое всегда заключено в вопросе. Однако в некоторых случаях задача формулируется так, что вопрос может включать в себя часть условия или вся задача излагается в форме вопроса.

Все это необходимо учитывать при обучении детей решению задач. Один из важных моментов обучения состоит в том, чтобы дети научились самостоятельно выполнять первичный анализ текста задачи, отделяя известное от неизвестного. Существенно, чтобы они умели не только вычленить из задачи числовые данные, но и объяснить, что обозначает каждое из содержащихся в ней чисел в контексте самой задачи, что сказано про то число, которое нужно найти, и т. п. Важно, чтобы при первичном анализе внимание обращалось не только на выделение данных и искомого, но и на связи между ними, описанные в тексте задачи.

Рассмотрим теперь вопрос о том, что значит решить задачу. На первый взгляд может показаться, что этот вопрос ясен, что он не нуждается в обсуждении. Однако это не совсем так.

Термин «решение задачи» употребляется в методике и в живой речи учителя и учащихся в разных смыслах, и на этой почве в процессе обучения возникают иногда определенные трудности, которые учителю следует заранее иметь в виду.

Вообще говоря, решить задачу — это значит ответить на поставленный в ней вопрос. Именно так чаще всего понимают требование решить задачу сами дети. Среди учителей распространено мнение, что если ученик не может объяснить, как он получил ответ на вопрос задачи, значит, он не решил ее. Дети внутренне никогда не могут с этим согласиться. Возникает своего рода конфликтная ситуация, которая в данном случае совсем не полезна. Причина ее заключена в том, что учитель понимает требование решить задачу значительно шире, чем просто дать ответ на ее вопрос.

Для того, чтобы не возникало такого взаимонепонимания между учителем и учащимися, необходимо разъяснить детям смысл требования «решить задачу». Думается, что полезно сказать детям примерно следующее: задачи, которые вы будете решать на уроках математики, — это не загадки, которые нужно разгадать.

Таким образом, решить задачу — это значит объяснить (рассказать), какие действия нужно выполнять над данными в ней числами, чтобы после вычислений получить число, которое в ней нужно узнать. Записать решение задачи — значит с помощью цифр и знаков действия показать, что нужно сделать, чтобы найти неизвестное число, выполнить вычисления и дать ответ на вопрос задачи.

Особенности текстовых задач и их решение во многом определяют их роль и место в процессе обучения.

Так, в частности, если бы целью обучения математике можно было считать лишь ознакомление детей с числами, арифметическими действиями, их свойствами, существующими между ними связями и отношениями, то есть только с математической стороной дела в чистом виде, то, вообще говоря, можно было бы и вовсе отказаться от рассмотрения сюжетных задач и ограничиться изучением этих зависимостей и отношений в общем плане, с использованием абстрактной математической формы их выражения. Текстовые задачи сами по себе ничего нового в раскрытие этих общих математических фактов не вносят и внести не могут. Текстовые сюжетные задачи, отражающие конкретные, хорошо понятные детям жизненные ситуации, могут оказаться полезным средством ознакомления учащихся с теми понятиями, отношениями, закономерностями, которые составляют предмет начального курса математики.

В этом случае текстовые задачи играют как бы подсобную роль в курсе математики наряду с такими средствами, как использование различных наглядных пособий, проведение практических работ и прочее.

Сюжетные задачи используются в качестве одного из средств формирования у детей тех или иных новых математических знаний (либо на этапе ознакомления с новым, либо на этапе применения в разнообразных условиях, с целью закрепления и совершенствования формируемых понятий, усвоение изученных свойств действий и тому подобное).

Однако к этому функции сюжетных задач не сводятся.

Одна из общих задач обучения математике в школе состоит в том, чтобы подготовить учащихся к их дальнейшей трудовой деятельности, с учетом современного уровня развития науки и техники.

Научить видеть в окружающей действительности такие факты и закономерности, которые могут быть описаны математически, — одна из важнейших задач обучения.

Так начиная с первых шагов обучения, школьники должны научиться выделять в окружающей обстановке (или на рисунке) множество предметов, объединенных каким-либо общим признаком, подмечать количественные изменения, которые происходят в результате тех или иных жизненных действий Они должны научиться выяснять, какие данные необходимы (или достаточны) для ответа на тот или иной вопрос.

Школьники должны научиться предложенную им сюжетную задачу переводить на язык математических выражений, овладевать умением составлять по задаче уравнение (это оговорено программой). Все эти требования вытекают из необходимости подготовить учащихся к решению разнообразных по содержанию задач, выраженных в словесной форме, с помощью доступных им математических средств.

В этом смысле работу над текстовыми задачами можно сравнить с переводом с одного языка на другой.

Известный американский педагог и математик Д. Пойа в своей интереснейшей книге, посвященной специально проблемам обучения решению задач, пишет: «Составить уравнение, — значит выразить математическими символами условие, сформулированное словами. Это перевод с обычного языка на язык математических формул. Трудности, которые могут встретиться при составлении уравнений, являются трудностями перевода» Д. Пойа. Как решать задачу. М. 1961, с. 185−186. То же с полным правом может быть отнесено и к составлению выражения по задаче.

Обучение детей такому переводу должно быть осознано учителем как специальная задача начального курса математики.

Наконец, наряду с перечисленными специальными целями решение задач является упражнением весьма полезным в воспитательном отношении. Решение задач — упражнение, развивающее мышление. Мало того, решение задач способствует воспитания терпения, настойчивости, воли, способствует пробуждению интереса к самому поиска решения, дает возможность испытать глубокое удовольствие, связанное с удачным решением. Именно школа должна воспитать любовь, и даже потребность в трудовом (и, в частности, в умственном) учении. Решение задач — одно из средств, помогающих в этом деле.

Из рассмотренных роли и места текстовых задач в современном курсе математики должно стать ясно, что целью работы над задачами вовсе не является разучивание с детьми способов решения задач каких-то определенных видов.

Цель состоит в том, чтобы, используя текстовые задачи как один из видов упражнений, обеспечить лучшее усвоение включенных в программу вопросов теории, научить детей применять приобретенные теоретические знания на практике. При этом у них должны быть сформированы некоторые общие умения, необходимые для самостоятельного решения несложных жизненных задач, поддающихся «переводу» на язык математики. Мы должны развивать у учащихся умение рассуждать, основанное на способности отделить известное от неизвестного, установить существующие между ними связи, перевести эти связи с конкретного языка текстовой задачи на абстрактный язык математических отношений и зависимостей.

Это принципиально новая постановка целей работы над текстовыми задачами, которая должна войти в жизнь с введением нового учебного предмета — «математики». Как показывает анализ опыта массовой школы, эта задача осознана и «принята на вооружение» далеко не всеми учителями. Сила укоренившихся традиций, в соответствии с которыми перед учителем ставилась цель — научить детей решать задачи определенных типов, продолжает оказывать отрицательное влияние и в настоящее время. Отбор специально составленных так называемых «типовых» задач, разучивание способов решения задач каждого такого типа — путь, который не может обеспечить той математической подготовки учащихся, которая требуется в современных условиях.

Следовательно, отбор, система расположения задач в курсе, методика работы над ними должны отвечать общим целям обучения и учитывать при этом те функции, которые могут быть возложены на этот вид упражнений и которые были рассмотрены выше.

Отбор задач и система их распределения определяются рассмотренными выше целями, строятся с учетом тех функций, которые задачи выполняют в курсе.

Система расположения текстовых задач, естественно, совпадает с логикой развертывания вводимых понятий, ознакомления с арифметическими действиями и их свойствами и т. п. особенность задач, которые отбираются в этих целях, — максимальная их простота. Они должны быть совершенно понятны, близки детям по сюжету, наиболее просто изложены, не содержать никаких непонятных, новых для детей слов, которые требовали бы дополнительных пояснений.

Итак, первая группа задач, рассматриваемых в начальном курсе математики — задачи, направленные на раскрытие смысла арифметических действий.

Ко второй группе простых задач относятся задачи, раскрывающие различные отношения между числами.

Третья группа простых задач, используемых в целях конкретизации, большой наглядности и доступности при рассмотрении некоторых, более новых вопросов арифметической теории — задачи, раскрывающие связи между компонентами результатами арифметических действий. Это задачи на нахождение одного из компонентов действия, когда даны другой компонент и результат, например:

Задачи на нахождение одного из слагаемых по данной сумме и другому слагаемому.

Задачи на нахождение уменьшаемого по данным вычитаемому и разности.

Задачи на нахождение неизвестного вычитаемого по данному уменьшаемому и разности.

Нахождение неизвестного множителя по данным произведению и другому множителю.

Задачи на нахождение неизвестного делимого или делителя.

Мы рассмотрели основные виды простых задач, которые используются на этапе ознакомления школьников со смыслом арифметических действий, со связью между компонентами и результатом действий, при разъяснении смысла важнейших количественных отношений.

Простые задачи часто используются и при ознакомлении детей с другими новыми вопросами программы.

Так, очень важна роль сюжетных задач в деле формирования у детей представления о величинах, об их изменении, о связи, существующей между такими величинами, как цена, количество и стоимость, масса одного предмета, число предметов и общая масса, скорость, время и пройденный путь, длина и ширина прямоугольника и его площадь, норма выработки за единицу времени, затраченное время и общая выработка, норма расхода каких-либо материалов на одно изделие, число изделий и общий расход материала на них и тому подобное.

Математическая сущность этих задач остается той же — они сводятся к одному из видов задач, рассмотренных выше. Однако, с точки зрения формирования понятия о величинах имеет смысл говорить специально о задачах на нахождение стоимости по заданной цене и числу купленных предметов, о задачах на нахождение цены по данным стоимости и числу купленных предметов и тому подобное.

С целью формирования у детей умения анализировать задачу, выделять в ней данные и искомое, те связи между ними, которые отражены в тексте задачи, сознательно подходить к выбору нужного действия, вводятся и так называемые задачи, выраженные и в косвенной форме.

Это задачи на увеличение (или уменьшение) числа на несколько единиц (или в несколько раз), в текст которых входят слова: «на столько-то больше», но решается задача не сложением, а вычитанием, слова «во столько-то раз больше», а решается задача не умножением, а делением и так далее.

Своевременное введение этих задач необходимо для того, чтобы исключить возможность создания в сознании детей прочных связей между отдельными, выхваченными из контекста задачи словами и выражениями и определенным арифметическим действием.

Введение

этих задач с самого начала должно способствовать формированию у учащихся правильного подхода к решению любой задачи, который предполагает обязательный и достаточно тщательный анализ условия, всестороннее его рассмотрение.

Итак, подбор и расположение простых текстовых задач подчиняется логике рассмотрения новых вопросов арифметической теории и вместе с тем отвечает требованию постепенного усложнения заданий, связанного с некоторыми особенностями той формы, в которой в них представлены математические связи и отношения, предоставляющие выбор арифметического действия, необходимого для решения задачи. Усложнение заданий может быть также связано с введением новых величин, с рассмотрением новых для детей связей между ними.

Наряду с задачами в тех же целях с успехом используются близкие к ним по характеру упражнения, которые условно можно назвать задачами-вопросами, задачи с недостающими данными и задачи с лишними данными.

Таким образом, задачи с недостающими данными, с лишними данными — все эти упражнения можно рассматривать как дополнительные к системе простых задач. Они могут использоваться учителями в разных целях, на разных этапах ознакомления с тем или иным вопросом курса, в качестве одного из средств, позволяющих обратить специальное внимание детей на важность элементов задач, сосредоточить их внимание на выяснении зависимости и тому подобное. Учителю полезно всегда помнить о тех возможностях, которые они открываются, и использовать их по мере надобности как в коллективной работе с классом, так и в индивидуальной работе со всеми учащимися.