Методы принятия управленческих решений

Задание 2

Для реализации трех групп товаров предприятие располагает тремя видами ограниченных материально-денежных ресурсов в количестве 160, 200, 240 единиц. При этом для продажи первой группы товаров на 1 тыс. руб. товарооборота расходуется ресурсов первого вида в количестве 1 единиц, ресурсов второго вида в количестве 24 единицы, ресурсов третьего вида в количестве 3 единицы. Для продажи второй и третей групп товаров на 1 тыс. руб. товарооборота расходуется соответственно ресурсов первого вида в количестве 1 и 1 единиц, ресурсов второго вида в количестве 1 и 3 единиц, ресурсов третьего вида в количестве 2 и 3 единиц. Прибыль от продажи трех групп товаров на 1 тыс. руб. товарооборота составляет соответственно 4, 3, 5 тыс. руб. Определить плановый объем и структуру товарооборота так, чтобы прибыль торгового предприятия была максимальной.

Решение:

Пусть x_i — объем выпуска товаров i-ой группы.

Математическая модель задачи имеет вид:

х₁ + х₂ + х₃? 160,.

2х₁ + х₂ + 3х₃? 200,.

3х₁ + 2х₂ + 3х₃? 240,.

х₁, х₂, х₃? 0.

f (х) = 4х₁ + 3х₂ + 5х₃ > max.

Решим задачу с помощью симплексного метода:

Базис.	Переменные.	bi	Примечание.
х1	х2	х3	х4	х5	х6
х4								160:1 = 160.
х5								200:2 = 100.
<�х6	3*.							240:3 = 80 min.
— f.	— 4.	— 3.	— 5.
х4		1/3.				— 1/3.		;
<�х5		— 1/3.	1*.			— 2/3.		40:1=40 min.
>х1		2/3.				1/3.		80:1 = 80.
— f.		— 1/3.	— 1.			4/3.
х4		1/3.				— 1/3.		80:1/3 = 240.
>х3		— 1/3.				— 2/3.		;
<�х1		1*.			— 1.			40:1 = 40 min.
— f.		— 2/3.				2/3.
х4	— 1/3.				1/3.	— 2/3.	200/3.
х3	— 1/3.				4/3.	— 1/3.	160/3.
х2					— 1.
— f.	2/3.				1/3.	4/3.	1160/3.

Получено оптимальное решение, т.к. в целевой строке нет отрицательных элементов, значит max f = 1160/3 при х₁ = 0, х₂ = 40, х₃ = 160/3, х₄ = 200/3, х₅ = 0, х₆ = 0.

Таким образом, max f (0; 40;) = .

Значит для получения максимальной прибыли в размере 386,67 тыс. руб., необходимо товары второй группы реализовывать в объеме 40 тыс. руб., третей группы — 53,33 тыс. руб., а товары первой группы нецелесообразно реализовывать вообще.

Ответ: max f (0; 40;) = .

Задание 3

Используя вариант предыдущего контрольного задания необходимо:

• — к прямой задаче планирования товарооборота решаемой симплексным методом составить двойственную задачу линейного программирования;
• — установить сопряженные пары переменных прямой и двойственной задачи;
• — согласно сопряженным парам переменных из решения прямой задачи получить решение двойственной задачи, в которой производится оценка ресурсов, затраченных на продажу товара.

Решение:

Сформулируем задачу двойственную к прямой задаче планирования товарооборота:

min F = 160у₁ + 200у₂ + 240у₃

у₁ + 2у₂ + 3у₃? 4,.

у₁ + у₂ + 2у₃? 3,.

у₁ + 3у₂ + 3у₃? 5,.

у₁,₂,₃? 0.

Сопряженные пары переменных прямой и двойственной задач:

основные дополнительные х₁ х₂ х₃ х₄ х₅ х₆

у₄ у₅ у₆ у₁ у₂ у₃

дополнительные основные Тогда, min F = max f = 1160/3 при у₁ = 0, у₂ = 1/3, у₃ = 4/3, у₄ = 2/3, у₅ = 0, у₆ = 0.

Таким образом, min F (0; ;) =.

Экономический смысл двойственных оценок: увеличение запасов ресурсов второго вида 1 ед. дает прирост прибыли в 0,33 тыс. руб., а увеличение запасов ресурсов третьего вида на 1 ед. дает прирост прибыли в 1,33 тыс. руб.

Двойственные оценки также отражают дефицитность ресурсов, т. е. ресурсы первого вида не дефицит, а ресурсы третьего вида более дефицитны, чем ресурсы второго вида.

Задание 4

Поставщики товара — оптовые коммерческие предприятия — А₁, А₂, А_m имеют запасы товаров соответственно в количестве а₁, а₂,…а_m ед. и розничные торговые предприятия В₁, В₂, В_n — подали заявки на закупку товаров в объемах соответственно b₁, b₂, b_n. Тарифы перевозок единицы груза с каждого из пунктов поставки в соответствующие пункты потребления заданы в виде матрицы С = (с_ij, i= 1, m, j = 1, n).

Найти такой план перевозки груза от поставщиков к потребителям, чтобы совокупные затраты на перевозку были минимальными.

линейный товарооборот прибыль программирование а₁ = 222, а₁ = 188, а₁ = 210, а₁ = 380,.

b₁ = 125, b₁ = 75, b₁ = 200, b₁ = 380, b₁ = 220,.

23 21 11 8 3.

С = 7 17 5 2 4.

2 16 8 4 3.

3 9 21 8 4.

Решение:

Решим транспортную задачу методом потенциалов.

Поскольку запасы коммерческих предприятий (222 + 188 + 210 + 380 = 1000) совпадает с объемом заявок (125 + 75 + 200 + 380 + 220 = 1000), то имеем закрытую модель транспортной задачи.

Построим начальную таблицу методом наименьшего тарифа.

Проверим полученный план на оптимальность. Вычислим оценки свободных клеток:

• ?₁₁ = р₁ + q₁ — с₁₁ = 0 + 2 — 23 = -21
• ?₁₂ = р₁ + q₂ — с₁₂ = 0 — 1 — 21 = -22
• ?₁₄ = р₁ + q₄ — с₁₄ = 0 — 2 — 8 = -10
• ?₂₁ = р₂ + q₁ — с₂₁ = 4 + 2 — 7 = -1
• ?₂₂ = р₂ + q₂ — с₂₂ = 4 — 1 — 17 = -14
• ?₂₃ = р₂ + q₃ — с₂₃ = 4 + 11 — 5 = 10
• ?₂₅ = р₂ + q₅ — с₂₅ = 4 + 3 — 4 = 3
• ?₃₂ = р₃ + q₂ — с₃₂ = 0 — 1 — 16 = -17
• ?₃₃ = р₃ + q₃ — с₃₃ = 0 + 11 — 8 = 3
• ?₃₄ = р₃ + q₄ — с₃₄ = 0 — 2 — 4 = -6
• ?₄₁ = р₄ + q₁ — с₄₁ = 10 + 2 — 3 = 9
• ?₄₅ = р₄ + q₅ — с ₅ = 10 + 3 — 4 = 9

Критерий оптимальности не выполняется, т.к. имеются положительные оценки свободных клеток. Для свободной клетки 12 строим цикл пересчета.

Получаем следующий план.

Проверим полученный план на оптимальность. Вычислим оценки свободных клеток:

• ?₁₁ = р₁ + q₁ — с₁₁ = 0 + 2 — 23 = -21
• ?₁₂ = р₁ + q₂ — с₁₂ = 0 + 8 — 21 = -13
• ?₁₄ = р₁ + q₄ — с₁₄ = 0 — 7 — 8 = -1
• ?₂₁ = р₂ + q₁ — с₂₁ = -5 + 2 — 7 = -10
• ?₂₂ = р₂ + q₂ — с₂₂ = -5 + 8 — 17 = -14
• ?₂₃ = р₂ + q₃ — с₂₃ = -5 + 11 — 5 = 1
• ?₂₅ = р₂ + q₅ — с₂₅ = -5 + 3 — 4 = -6
• ?₃₂ = р₃ + q₂ — с₃₂ = 0 + 8 — 16 = -8
• ?₃₃ = р₃ + q₃ — с₃₃ = 0 + 11 — 8 = 3
• ?₃₄ = р₃ + q₄ — с₃₄ = 0 + 7 — 4 = 3
• ?₄₁ = р₄ + q₁ — с₄₁ = 1 + 2 — 3 = 0
• ?₄₃ = р₄ + q₃ — с ₃ = 1 + 11 — 21 = -9

Критерий оптимальности не выполняется, т.к. имеются положительные оценки свободных клеток. Для свободной клетки 34 строим цикл пересчета.

Получаем следующий план.

Проверим полученный план на оптимальность. Вычислим оценки свободных клеток:

• ?₁₁ = р₁ + q₁ — с₁₁ = 0 + 5 — 23 = -17
• ?₁₂ = р₁ + q₂ — с₁₂ = 0 + 8 — 21 = -13
• ?₁₄ = р₁ + q₄ — с₁₄ = 0 — 7 — 8 = -1
• ?₂₁ = р₂ + q₁ — с₂₁ = -5 + 5 — 7 = -7
• ?₂₂ = р₂ + q₂ — с₂₂ = -5 + 8 — 17 = -14
• ?₂₃ = р₂ + q₃ — с₂₃ = -5 + 11 — 5 = 1
• ?₂₅ = р₂ + q₅ — с₂₅ = -5 + 3 — 4 = -6
• ?₃₂ = р₃ + q₂ — с₃₂ = -3 + 8 — 16 = -5
• ?₃₃ = р₃ + q₃ — с₃₃ = -3 + 11 — 8 = 0
• ?₃₅ = р₃ + q₅ — с₃₅ = -3 + 7 — 5 = -1
• ?₄₁ = р₄ + q₁ — с₄₁ = 1 + 5 — 3 = 3
• ?₄₃ = р₄ + q₃ — с ₃ = 1 + 11 — 21 = -9

Критерий оптимальности не выполняется, т.к. имеются положительные оценки свободных клеток. Для свободной клетки 41 строим цикл пересчета.

Получаем следующий план.

Проверим полученный план на оптимальность. Вычислим оценки свободных клеток:

• ?₁₁ = р₁ + q₁ — с₁₁ = 0 + 2 — 23 = -21
• ?₁₂ = р₁ + q₂ — с₁₂ = 0 + 8 — 21 = -13
• ?₁₄ = р₁ + q₄ — с₁₄ = 0 + 4 — 8 = -4
• ?₂₁ = р₂ + q₁ — с₂₁ = -2 + 2 — 7 = -7
• ?₂₂ = р₂ + q₂ — с₂₂ = -2 + 8 — 17 = -11
• ?₂₃ = р₂ + q₃ — с₂₃ = -2 + 11 — 5 = 4
• ?₂₅ = р₂ + q₅ — с₂₅ = -2 + 3 — 4 = -3
• ?₃₂ = р₃ + q₂ — с₃₂ = 0 + 8 — 16 = -8
• ?₃₃ = р₃ + q₃ — с₃₃ = 0 + 11 — 8 = 3
• ?₃₅ = р₃ + q₅ — с₃₅ = 0 + 3 — 3 = 0
• ?₄₃ = р₄ + q₃ — с₄₃ = 1 + 11 — 21 = -9
• ?₄₄ = р₄ + q₄ — с ₃ = 1 + 4 — 8 = -3

Критерий оптимальности не выполняется, т.к. имеются положительные оценки свободных клеток. Для свободной клетки 23 строим цикл пересчета.

Получаем следующий план.

Проверим полученный план на оптимальность. Вычислим оценки свободных клеток:

• ?₁₁ = р₁ + q₁ — с₁₁ = 0 + 2 — 23 = -21
• ?₁₂ = р₁ + q₂ — с₁₂ = 0 + 8 — 21 = -13
• ?₁₄ = р₁ + q₄ — с₁₄ = 0 + 8 — 8 = 0
• ?₂₁ = р₂ + q₁ — с₂₁ = -6 + 2 — 7 = -11
• ?₂₂ = р₂ + q₂ — с₂₂ = -6 + 8 — 17 = -15
• ?₂₅ = р₂ + q₅ — с₂₅ = -6 + 3 — 4 = -7
• ?₃₁ = р₃ + q₁ — с₃₁ = -4 + 2 — 2 = -4
• ?₃₂ = р₃ + q₂ — с₃₂ = -4 + 8 — 16 = -12
• ?₃₃ = р₃ + q₃ — с₃₃ = -4 + 11 — 8 = -1
• ?₃₅ = р₃ + q₅ — с₃₅ = -4 + 3 — 3 = -4
• ?₄₃ = р₄ + q₃ — с₄₃ = 1 + 11 — 21 = -9
• ?₄₄ = р₄ + q₄ — с ₃ = 1 + 8 — 8 = 1

Критерий оптимальности не выполняется, т.к. имеются положительные оценки свободных клеток. Для свободной клетки 44 строим цикл пересчета.

Получаем следующий план.

Проверим полученный план на оптимальность. Вычислим оценки свободных клеток:

• ?₁₁ = р₁ + q₁ — с₁₁ = 0 + 2 — 23 = -21
• ?₁₂ = р₁ + q₂ — с₁₂ = 0 + 8 — 21 = -13
• ?₁₄ = р₁ + q₄ — с₁₄ = 0 + 7 — 8 = -1
• ?₂₁ = р₂ + q₁ — с₂₁ = -6 + 2 — 7 = -11
• ?₂₂ = р₂ + q₂ — с₂₂ = -6 + 8 — 17 = -15
• ?₂₄ = р₂ + q₄ — с₂₄ = -6 + 7 — 2 = -1
• ?₂₅ = р₂ + q₅ — с₂₅ = -6 + 3 — 4 = -7
• ?₃₁ = р₃ + q₁ — с₃₁ = -3 + 2 — 2 = -3
• ?₃₂ = р₃ + q₂ — с₃₂ = -3 + 8 — 16 = -11
• ?₃₃ = р₃ + q₃ — с₃₃ = -3 + 11 — 8 = 0
• ?₃₅ = р₃ + q₅ — с₃₅ = -3 + 3 — 3 = -3
• ?₄₃ = р₄ + q₃ — с₄₃ = 1 + 11 — 21 = -9

Критерий оптимальности выполняется, т.к. нет положительных оценок свободных клеток.

Таким образом, получен оптимальный план перегона вагонов:

Вычислим минимальные затраты на перевозку:

min F = 12*11 + 210*3 + 188*5 + 210*4 + 125*3 + 75*9 + 170*8 + 10*4 =.

= 4992.

Ответ: minF = 4992.

• 1) Кремер Н. Ш., «Практикум по высшей математике для экономистов», — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003;
• 2) Григулецкий А. В., «Высшая математика для экономистов», — М.: Феникс, 2004;
• 3) Замков О. О., «Математические методы в экономике. Учебник», — М.: ДиС, 2004;
• 4) Воронов М. В., Мещеряков Г. П., «Высшая математика для экономистов и менеджеров», — М.: Феникс, 2005;
• 5) Шапкин А. С., Мазаева Н. П., «Математические методы и модели исследования операций. Учебник», — М.: Дашков и К, 2004;
• 6) Красс М. С., «Математика для экономистов», — С.-Пб.: Питер, 2004.