Вращательное движение твердого тела (скорость и ускорение точки)

Вращательным называют такое движение твердого тела, при котором две какие-нибудь точки принадлежащие телу, остаются во все время движения неподвижными. Прямая, проходящая через эти точки, называется осью вращения. Все точки, лежащие на оси так же неподвижны.

Чтобы определить положение вращающегося тела, введем две плоскости, проходящие через ось вращения (Рис.12) А — плоскость неподвижная; В — плоскость связанная с телом и вращающаяся с ним; DE — ось вращения, совпадающая с осью z.

Рис. 12.

Теперь в любой момент времени положение тела будет определяться углом между плоскостями, А и В или углом поворота тела, положительным, если вращение происходит против часовой стрелки, и отрицательным в противном случае. Закон вращательного движения Угол поворота обычно измеряют в радианах.

Основными кинематическими характеристиками вращательного движения твердого тела являются его угловая скорость и угловое ускорение .

Если за промежуток времени тело совершает поворот на угол, то средняя угловая скорость будет численно равна.

Угловой скоростью тела в данный момент t называется величина, к которой стремится средняя угловая скорость, если стремится к нулю.

Угловая скорость твердого тела является первой производной от угла поворота по времени.

Угловую скорость можно изображать вектором. Вектор угловой скорости направляют по оси вращения в ту сторону, откуда вращение видно против хода часовой стрелки.

Если угловая скорость не является постоянной величиной, то вводят еще одну характеристику вращения — угловое ускорение.

Угловое ускорение характеризует изменение угловой скорости тела с течением времени.

Если за промежуток времени угловая скорость получает приращение, то среднее угловое ускорение равно.

Угловым ускорением твердого тела в данный момент времени t называется величина, к которой стремится при стремящемся к нулю.

Как вектор, угловое ускорение направлен так же, как и, вдоль оси (Рис.13).

Рис. 13.

Если направление и совпадает, то вращение ускоренное, если противоположно, то замедленное.

Если = const, то вращение будет равномерным.

Найдем его закон. Так как, то, интегрируя при начальных условиях t = 0, = 0, получаем.

Это и есть закон равномерного вращения.

В технике вращение характеризуют оборотами в минуту n [об/мин]. Угловая скорость и обороты в минуту n связаны следующим соотношением:

Если угловое ускорение тела все время остается постоянным, то вращение называют равнопеременным (= const).

Найдем закон вращения, если в начальный момент t = 0, = 0 и :

.

интегрируя получаем Подставляем вместо правую часть, разделяем переменные и, вновь интегрируя, имеем.

Это закон равнопеременного вращения.

Если и имеют один знак, то вращение равноускоренное. Если знаки разные — равнозамедленное. (Рис. 13 а, б).

Передаточные механизмы

Передаточные механизмы передают движение от одного тела к другому. Параметры движения тел определяются с учетом параметров точек соприкосновения (зацепления) этих тел. На рисунке 14 (а, б, в, г) приведены различные схемы передачи движения от одного тела к другому.

На рисунках 14, а и 14, б зависимости угловых скоростей колес определяются из соотношения Vc=щ1? r1=щ2? r2, т. е.

щ1/щ2=r2/r1.

На рисунке 14, а (внешнее зацепление) колёса вращаются в противоположные стороны, на рисунке 14, б (внутреннее зацепление) колеса вращаются в одну сторону.

На рисунке 14, в показана цепная (ременная) передача. Скорости точек A и B цепи должны быть равны соответственно скоростям точек A и B, принадлежащих шкивам:

VA=щ1с r1=VB=щ2dr2, щ1/щ2=r2/r1.

На рисунке 14, г поступательное движение стержня обеспечивает вращение колеса:

VA=VC=щbr, щ=VA/r.

Рис. 15.

На рисунке 15 изображена фрикционная передача: колесо 1, прижимаясь к торцу колеса 2 в точке C, обеспечивает его вращение вокруг вертикальной оси.

VC=щ1сr1=щ2вd, щ1/щ2=d/r1.