Отыскание собственных векторов

Предположим, что, применяя метод Ланцоша, мы получили.

Cm =0. Пусть i — какой-нибудь корень минимального многочлена вектора С0. Тогда будем разыскивать собственный вектор, соответствующий этому собственному значению в виде.

Xi = 0С0 + 1С1 + … + m-1Cm-1.

Условие AXi = i Xi дает.

0(С1+а10С0) + 1 (С2 + а21С1 + а20С0) + …+ m-2 (Сm-1+ am-1,m-2Cm-2 + am-1,m-3Cm-2) + m-1 (am, m-1Cm-1 + am, m-2Cm-2) = i0C0 + i1C1 + … + im-1Cm-1.

В силу линейной независимости векторов С0, С1,…Cm-1 из этой линейной комбинации следует:

Коэффициент m-1 должен быть отличен от нуля, так как в противном случае и все остальные коэффициенты i были бы равны нулю. Положим, например, m-1 = 1. Тогда остальные коэффициенты i последовательно находятся из равенств:

Как и для метода Крылова, первое из полученных равенств будет следствием остальных и условия, что i является корнем минимального многочлена вектора С0.

Найдем собственные векторы матрицы, А = .

Если за вектор С0 принять С0 =(0,1,0,0), то вычисления при i = 3 дают.

и Xi = (0,6,0,0) + (0,0,6,6) = (0,6,6,6).

При i = 6 соответственно получим :

и Xi = (0,6,0,0) + (0,0,-6,0) = (0,0,6,6)= (6,6,0,6).

Можно ввести в рассмотрение многочлен :

Тогда собственный вектор Xi соответствующий собственному значению i можно записать в виде.

Xi = qm-1(i) C0 + qm-2 (i) C1 +…+q1(i) Cm-2 + q0(i) Cm-1.

Многочлен qm () в последнем равенстве совпадает с многочленом Pm ().