Разностные уравнения. 
Дифференциальные и разностные уравнения

Линейные разностные уравнения первого порядка

Определение 7.1. Линейным разностным уравнением первого порядка называется уравнение вида.

где а_k — известная функция N₀—"М, причем Vk а_кФ 0; f_k — известная функция N₀ —> Ж.; г/^. — неизвестная функция N₀ —" М (N₀ = Nu {0}).

Пусть а_к = -1 V&, f_k = d У к. Тогда уравнение (7.1) задает арифметическую прогрессию с разностью d.

Пусть а_к = -ц У к, /_к = 0 V/e. Тогда уравнение (7.1) задает геометрическую прогрессию со знаменателем q.

+<*" к

Для числового ряда ?/" его к-й частичной суммой назовем сумму ?/". Тогда И=1 «» Я=1.

у_к удовлетворяет уравнению вида у_к+, = у_к + /_{кл [}.

В условиях предыдущего примера к-м частичным произведением назовем произ- к

ведение у_к = П /". Тогда у_к удовлетворяет уравнению вида у_к+1 = yi/_k+.

_W=1__.

Определение 7.2. Последовательность у_к, к g N₀, называется решением уравнения (7.1), если она обращает его в числовое тождество для всех к е g N₀. График решения (7.1) представляет собой последовательность точек плоскости с координатами (k, ф/_;) для всех k е N₀.

Определение 7.3. Если f_k = 0 Vk е N₀, то уравнение (7.1) называется линейным однородным разностным уравнением (ЛОРУ) первого порядка. В противном случае уравнение (7.1) называется линейным неоднородным разностным уравнением (ЛНРУ) первого порядка.

Для линейного однородного разностного уравнения (ЛОРУ) первого порядка.

где а_к * 0 для всех к е N₀, формулу всех решений можно получить с помощью последовательных подстановок. Из уравнения (7.2) имеем, что или

*-1.

Положим у₀ = С, А_к-(-1)* П а. Заметим, что А_к* 0 для любого к е N₀.

7=0.

Форм}'ла всех решений линейного однородного разностного уравнения (7.2) принимает вид где С — произвольная постоянная, Се R, ke N₀. Формула (7.3) называется формулой общего решения ЛОРУ (7.2).

Для решения линейного неоднородного разностного уравнения первого порядка (7.1) используется метод вариации произвольной постоянной.

Будем искать решение ЛИРУ (7.1) в таком же виде (7.3), как и решение ЛОРУ (7.2), но только С будем считать не произвольной постоянной, а некоторой неизвестной функцией от к, где к е N₀:

Подставляя выражение (7.4) в уравнение (7.1), получаем.

или.

(так как А_к — решение ЛОРУ). Отсюда находим.

Итерируя по к, получаем ражение (7.4), находим формулу всех решений уравнения (7.1):

Формулу (7.5) называют формулой общего решения ЛНРУ первого порядка.

Из формулы (7.5) ясно, что общее решение ЛНРУ (7.1) представляет собой сумму общего решения ЛОРУ (7.2) и некоторого частного решения ЛНРУ (7.1).

Пример 7.5.

Решение. Имеем Решим уравнение.

Следовательно, общее решение ЛНРУ по формуле (7.5) имеет вид.

Определение 7.4. Задача нахождения решения уравнения (7.1), удовлетворяющего начальному условию г/₀ = и е R, называется разностной задачей Коши. Решение разностной задачи Коши для уравнения (7.1) существует, единственно при любом и е Е и задастся формулой.

Замечание 7.1. Решение задачи Коши, выраженное формулой (7.6), часто не выражается в элементарных функциях. Например, уравнение (7.1) при a_k = -1 ,/_к = k, k е N нс имеет решения в классе элементарных функций.