Функция распределения дискретной случайной величины

Случайная величина Х называется дискретной (прерывной), если множество ее значений конечное или бесконечное, но счетное.

Другими словами, возможные значения дискретной случайной величину можно перенумеровать.

Описать случайную величину можно с помощью ее закона распределения.

Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями.

Закон распределения дискретной случайной величины Х может быть задан в виде таблицы, в первой строке которой указаны в порядке возрастания все возможные значения случайной величины, а во второй строке соответствующие вероятности этих значений, т. е.

р ₁+ р ₂+…+ р_n=1.

Такая таблица называется рядом распределения дискретной случайной величины.

Если множество возможных значений случайной величины бесконечно, то ряд р ₁+ р ₂+…+ р_n+… сходится и его сумма равна 1.

Закон распределения дискретной случайной величины Х можно изобразить графически, для чего в прямоугольной системе координат строят ломаную, соединяющую последовательно точки с координатами (x_i;p_i), i=1,2,…n. Полученную линию называют многоугольником распределения (рис. 1).

Рис. 5.

Закон распределения дискретной случайной величины Х может быть также задан аналитически (в виде формулы):

P (X=x_i)=ц (x_i), i =1,2,3…n.

Полное описание случайной величины дает также функция распределения.

Функцией распределения дискретной случайной величины Х называется функция F (x), определяющая для каждого значения х вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньше х:

F (x)=Р (Х<�х).

Геометрически функция распределения интерпретируется как вероятность того, что случайная величина Х примет значение, которое изображается на числовой прямой точкой, лежащей левее точки х.

Свойства функции распределения:

• 1) 0? F (x) ?1;
• 2) F (x) — неубывающая функция на (-?;+?);
• 3) F (x) — непрерывна слева в точках х= x_i (i=1,2,…n) и непрерывна во всех остальных точках;
• 4) F (-?)=Р (Х<-?)=0

как вероятность невозможного события Х<-?,.

F (+?)=Р (Х<+?)=1,.

как вероятность достоверного события Х<-?.

Если закон распределения дискретной случайной величины Х задан в виде таблицы:

то функция распределения F (x) определяется формулой:

0 при х? x_1,

р ₁ при x₁< х? x_2,

F (x)= р ₁ + р _2, при x₂< х? х ₃

… … …

1 при х> х_n.

Её график изображен на рис. 2:

Рис. 6.

Математическим ожиданием М (Х) дискретной случайной величины Х называется сумма произведений всех ее значений на соответствующие им вероятности:

_n

М (Х)=? x_iр_i= x₁р ₁ + x₂р ₂+…+ x_nр_n.

ⁱ⁼¹

Математическое ожидание служит характеристикой среднего значения случайной величины.

Свойства математического ожидания:

• 1) M (C)=C, где С — постоянная величина;
• 2) М (С*Х)=С*М (Х),
• 3) М (Х±Y)=М (Х) ±M (Y);
• 4) M (X*Y)=M (X) *M (Y), где X, Y — независимые случайные величины;
• 5) M (X±C)=M (X)±C, где С — постоянная величина.

Для характеристики степени рассеивания возможных значений дискретной случайной величины вокруг ее среднего значения служит дисперсия.

Дисперсией D (X) случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

D (X)=M (X-M (X))².

Свойства дисперсии:

• 1) D (C)=0, где С — постоянная величина;
• 2) D (X)>0, где Х — случайная величина;
• 3) D (C*X)=C²*D (X), где С-постоянная величина;
• 4) D (X+Y)=D (X)+D (Y), где X, Y — независимые случайные величины;

Для вычисления дисперсии часто бывает удобно пользоваться формулой:

D (X)=M (X²)-(M (X))², где М (Х)=? x_i²р_i= x₁²р ₁ + x₂²р ₂+…+ x_n²р_n

Дисперсия D (X) имеет размерность квадрата случайной величины, что не всегда удобно. Поэтому в качестве показателя рассеяния возможных значений случайной величины используют также величину vD (X).

Средним квадратическим отклонением у (Х) случайной величины Х называется квадратный корень из дисперсии:

.

Биномиальным называется закон распределения дискретной случайной величины Хчисла появлений события, А в n независимых повторных испытаниях, в каждом из которых события, А может наступить с вероятностью p или не наступить с вероятностью q=1-p. Тогда Р (Х=m)-вероятность появления события, А ровно m раз в n испытаниях вычисляется по формуле Бернулли:

Р (Х=m)=С^m_np^mq^n-m

Математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, распределенной по бинарному закону, находят, соответственно, по формулам:

M (X)=np,.

D (X)=npq,.

.

Если число испытаний n очень велико, а вероятность появления события, А в каждом испытании очень мала (р?0,1), то для вычисления Р (Х=m) используют формулу Пуассона:

Р (Х=m)=Р_n(m)= e^-л * л^m, где л=np.

^m!

Тогда говорят, что случайная величина Х — распределена по закону Пуассона.

Так как вероятность р события, А в каждом испытании мала, то закон распределения Пуассона называется законом средних явлений.