Совершенные множества. 
Открытые и замкнутые множества. 
Внутренние и граничные точки. 
Множества плотные в себе, совершенные множества

Совершенное множество — замкнутое множество, не имеющее изолированных точек, то есть совпадающее с множеством всех своих предельных точек.

Примеры

· Классическим примером нигде не плотного, совершенного множества является Канторово множество.

Свойства

• · Всякое непустое совершенное множество евклидова пространства имеет мощность континуума.
• · Множество точек конденсации любого множества является совершенным.
• · Теорема Кантора — Бендиксона. Всякое множество вещественных чисел есть объединение совершенного множества своих точек конденсации и счётного множества.
• · Эта теорема обобщена на случай подмножеств метрического пространства со счётной базой.

Применение в экономике

В математической экономике любые множества и функции описывают ту или иную структуру и взаимосвязь между экономическими величинами, любые их формальные (теоретические) свойства являются отражением или следствием фактов, имеющих место в реальной экономике.

Множество называется замкнутым, если вместе с внутренними точками он содержит и все свои граничные точки. Напомним, что точка называется внутренней точкой множества B, если существует такое число, что — окрестность точки целиком содержится во множестве В. Те точки, для которых это условие не выполняется называются граничными.

В экономико-математических моделях возникает необходимость формального описания множества допустимых для потребления наборов товаров, множества существующих технологических способов производства, множества вариантов планов, управленческих решений и т. д. Замкнутость таких множеств содержательно означает, что помимо промежуточных можно выбрать и «крайние» положения «рычагов управления». Кстати, часто наилучшими являются как раз эти крайние значения. Например, для выполнения плана может потребоваться использование всего запаса сырья. Математически замкнутое множество может быть описано, например, системой нестрогих неравенств.

Заметим, что к этому теоретико-множественному свойству не относится часто употребляемое понятие замкнутости экономики. Последняя означает отсутствие импорта и экспорта готовой продукции, сырья и внешних инвестиций для рассматриваемого экономического региона.

Множество называется ограниченным, если его можно заключить в сферу конечного радиуса r. Другими словами, для любого справедливо, то есть компоненты вектора х не имеют бесконечно большое и бесконечно малое значение. Например, относительно пространства цен товаров можно говорить о его ограниченности сверху (оно всегда ограниченно снизу нулем) так как практически нет товаров, имеющих бесконечно большую цену.

Множество называется выпуклым, если для любых выполняется условие. То есть множество В вместе с любыми своими точками содержит и все их выпуклые комбинации. Содержательно это означает, что вместе с допустимыми x¹ и x² допустимы и их «смеси». Например, если и — два допустимых с точки зрения бюджета потребителя набора товаров, то допустимым является любой набор

.