Баланс мощностей. 
Теория электрических цепей. 
Часть 1

Рассмотрим произвольную электрическую цепь, содержащую N идеальных источников напряжения, М идеальных источников тока и II идеализированных пассивных элементов. Пусть ц} щ — ток и напряжение.

k-то элемента цепи. Из закона сохранения энергии следует, что сумма мгновенных мощностей всех элементов цепи в каждый момент времени равна нулю:

Группируя члены, соответствующие идеализированным активным (pk _ист) и идеализированным пассивным (р^_П0Тр) элементам, уравнение (2.117) можно преобразовать к виду.

Уравнение (2.118) называют уравнением {условием) баланса мгновенных мощностей. Принимая во внимание, что мгновенная мощность любого элемента характеризует скорость потребления энергии этим элементом (потребляемая мощность), а мгновенная мощность, взятая со знаком «минус», — скорость отдачи энергии этим элементом (отдаваемая мощность), условие баланса мгновенных мощностей можно сформулировать следующим образом: сумма мгновенных мощностей, отдаваемых всеми источниками, равна сумме мгновенных мощностей, потребляемых всеми приемниками энергии (необходимо иметь в виду, что потребляется и отдается не мощность, а электрическая энергия).

Можно показать, что условие, аналогичное (2.118), выполняется и для комплексных мощностей всех элементов:

Уравнение (2.119) называют уравнением (условием) баланса комплексных мощностей.

Таким образом, сумма комплексных мощностей, отдаваемых всеми идеализированными активными элементами, равна сумме комплексных мощностей всех идеализированных пассивных элементов.

Для практических расчетов электрических цепей условие баланса мощностей удобно представить в следующем виде:

Левая часть выражения (2.120) представляет собой алгебраическую сумму комплексных мощностей, отдаваемых все• **'.

ми активными элементами. Слагаемое Ekh ~ произведение комплексного действующего значения ЭДС источника напряжения на комплексно-сопряженный ток этого источника; слагаемое UkJk равно произведению комплексного напряжения на источнике тока на комплексно-сопряженный ток этого источника. Слагаемые, стоящие в левой части выражения (2.120), берут со знаком «плюс», если направления токов и напряжений источников выбраны в соответствии с рис. 2.29. В противном случае эти слагаемые берут со знаком «минус». Правая часть уравнения (2.120) есть сумма комплексных мощностей всех идеализированных пассивных элементов, причем каждое слагаемое вида равно произведению квадрата действующего значения тока k-то идеализированного пассивного элемента на его комплексное сопротивление.

Рис. 2.29. К определению знака комплексной мощности, отдаваемой источниками напряжения (а) и тока (б) Из условия баланса комплексных мощностей следуют условия баланса активных и реактивных мощностей: активная мощность, отдаваемая всеми источниками, равна активной мощности всех потребителей:

а реактивная мощность всех источников равна реактивной мощности всех потребителей:

где ц_у Xk — вещественная и мнимая составляющие комплексного сопротивления k-vo элемента.

Пример 2.8. Определим комплексный ток последовательной RL-цеин (см. рис. 2.18, а) с параметрами элементов R = 8 кОм, 1 = 4 мГн, к зажимам которой подключен источник ЭДС е =

= V2 • 300cos (10^rY + 45°) В. Проверим выполнение условия баланса мощностей.

Находим комплексное входное сопротивление цепи:

Используя закон Ома в комплексной форме, определяем комплексный ток цени:

Комплексная мощность, отдаваемая источником напряжения,.

равна комплексной мощности, потребляемой сопротивлением и индуктивностью:

Таким образом, условие баланса комплексных мощностей выполняется.