Динамика системы n точек

СИСТЕМА СВОБОДНЫХ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК И УРАВНЕНИЯ ЕЕ ДВИЖЕНИЯ. ТЕОРЕМЫ ОБ ИЗМЕНЕНИИ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ И О ДВИЖЕНИИ ЦЕНТРА МАСС.

0.1.1. Механическая система (П, ?(П), и) называется системой.

N

N материальных точек, если П = (J М, где М, — точка трехмерного пространства.

Кольцо ?(П) содержит 7^N элементов вида {0, Л/, …, M_N, Л/, (J U Л/₂,…, О}, представляющих всевозможные объединения по к элементов из N, где к = О, 1, …, N. Мера ц на кольце 1(0) будет задана, если определить ц (Л/,) = т, /'= 1, …, N. Здесь т, — масса точки.

N

М" а масса всей системы М = р (П) = ?/я, .

• (=1
• 0.1.2. Движением системы N материальных точек назовем однопараметрическую непрерывную группу отображений множества О в Е^г, т. е.

g': О -" Е r, = r,(/), t е Л¹, /= 1, … N.

Параметр t называется временем. В дальнейшем предполагаем, что функции г,(/) дважды дифференцируемы по времени и определяют положение точки в инерциальной системе координат.

На точку М, действует сила F, = F, +? F_v^(,), где F, — внеш;

няя сила — результат взаимодействия точки Л/, с материальными объектами, не входящими в множество О, F — внутренняя сила — результат взаимодействия точек М, и М_у По третьему закону динамики (см. § 3.1) сила F,_;^(,) = -F_y,^(,) и направлена по прямой, соединяющей точки М, и М_у

Для каждой свободной материальной точки запишем уравнение движения.

Если задать модель взаимодействия точек друг с другом и с остальными точками Вселенной, например определить функции F,(/, Г|r_Ni г,.то уравнения (1.1) представятся как система обыкновенных дифференциальных уравнений порядка 6N. Предполагая выполненными условия теоремы существования и единственности решений, определим движение системы как общее решение системы (1.1), а именно г, = Г/(/, Г|(0), …, Гд<0), г,(0)…, Гдг (0)), 1=1,…, N. Таким образом, начальное состояние системы (набор начальных условий г,(0), …, г^О), г,(0)…, г^(0)) задает единственным образом движение системы.

N

0.1.3. Вектор Q = Tw, r;• называется количеством движения сис- /-1.

темы N материальных точек.

N

0.1.4. Точка С, радиус-вектор которой r_c = М Y*^mi^ri> называла ^{, и|}

ется центром масс системы N материальных точек.

Т.1. Производная по времени от количества движения системы равна сумме внешних сил, действующих на точки системы, т.е.

? Согласно уравнениям (1.1) имеем.

По третьему закону динамики силы F, y^(/) попарно уничтожаются, так как.

Теорема 1 называется теоремой об изменении количества движения системы N материальных точек. Справедлива также теорема о движении центра масс.

Т.2. Центр масс системы движется как материальная точка массы М под действием силы, равной сумме внешних сил, действующих на все точки системы, т.е.

А Сформулированная теорема является следствием теоремы 1. Достаточно только заметить, что по определению центра масс Q = Мr_c. ?

С. 1. Если проекция суммы внешних сил на какое-либо неподвижное направление равна нулю, то проекция количества движения системы на это направление постоянна или проекция радиус-вектора центра масс на это направление движется с постоянной скоростью — закон сохранения количества движения.

N

А Пусть е — орт неподвижного направления и? F,⁽''е = 0. Тогда.

1*1.

Qe = (Qe)' = 0 и Qe постоянна. Далее Qe = Мг_се и г_се постоянна. ?

0.1.5. Система материальных точек называется изолированной, если можно пренебречь взаимодействием ее точек с точками Вселенной, не входящими в рассматриваемую систему, т. е. F₍^w.= 0, N.

С. 2. Центр масс изолированной системы движется равномерно и прямолинейно, поскольку на основании теоремы о движении центра масс г_с = 0.

П. Пусть две материальные точки Л/, и М₂ соединены сжатой пружиной и движутся как одна материальная точка в однородном поле силы тяжести. В некоторый момент времени пружина освобождается и расталкивает материальные точки (рис. 28). Уравнения движения системы имеют вид.

Поскольку F|₂ = -F₂| — сила, развиваемая пружиной, то Л/г_с =.

= Л/g, Л/= /л, + т₂. Центр масс движется по закону г_с = l/2gt² +.

+r_c(0)f + г_с(0), описывая параболу. Движение материальных точек после прекращения действия пруРис. 28.

жины будет также происходить по ветвям парабол. Следует отметить, что закон взаимодействия точек (модель пружины) не влияет на движение центра масс системы точки С. Количество движения системы в проекциях на горизонтальные оси 0?, и 0?, 2 сохраняется.