Кручение тонкостенных стержней

Экономное расходование материала и создание относительно легких машин и конструкций — одни из главных задач современных экономики, науки и техники. Именно это вместе с другими причинами обусловило широкое применение в практике тонкостенных стержней. Они сохраняют относительно высокие прочностные и жесткостные свойства и отличаются от массивных деталей легкостью, красотой и элегантностью. Поперечным сечением таких стержневых деталей являются тонкостенные профили, толщина которых h в сравнении с другими линейными разменами мала (рис. 4.15).

Рис. 4.15. Тонкостенные сечения открытого (а, б) и закрытого (в, г) профиля Для тонкостенных сечений используются понятия открытых и закрытых профилей. Примерами первых являются сечения, представленные на рис. 4.15, а и б, вторых — сечения на рис. 4.15, в, г.

Расчет на кручение тонкостенных сечений с открытым профилем

Для открытых и закрытых профилей характерны различные закономерности распределения напряжений по толщине профиля, что учитывается в методике их расчетов. Проанализируем качественно закон распределения касательных напряжений по толщине профиля, используя мембранио-пле;

Рис. 4.16. Иллюстрация закона распределения касательных напряжений на основе мембранно-пленочной аналогии.

ночную аналогию. Для этого рассмотрим рамку (рис. 4.16, а), соответствующую по форме контуру открытого профиля, на которую натянута тонкая упругая мембрана.

Под действием давления мембрана принимает по длине профиля форму, близкую к цилиндрической (рис. 4.16, в). Углы наклона мембраны в точках А и В максимальны, равны друг другу по абсолютной величине, но различаются знаком. Угол наклона касательной в средней точке С равен нулю. Это наблюдение дает основание предположить, что согласно мембранно-пленочной аналогии эпюра распределения касательных напряжений по толщине изменяется по линейному закону (см. рис. 4.16, а).

Определенные искажения формы возникают в зонах излома профиля, однако при отношении характерных размеров S/h >10, где S и h являются длиной и толщиной профиля соответственно, эти зоны занимают малую долю площади сечения. Это обстоятельство дает основание предположить, что спрямление профиля не изменит существенно форму поверхности пленки в направлении, перпендикулярном средней линии профиля. Из этого следует, что для гнутого профиля и прямоугольного профиля, полученного посредством его распрямления, распределения напряжений с достаточной для расчетов точностью можно считать одинаковыми.

Для прямоугольного профиля были получены формулы (4.28), (4.31) в которых для отношения S/h >10 коэффициенты аир следует принимать равными 1/3.

В частности, для максимального касательного напряжения получим формулу.

Для стержня длиной / и характерным размером S_} скручиваемого постоянным моментом, угол закручивания определяется формулой.

Рассмотрим стержень с тонкостенным открытым поперечным сечением, который невозможно развернуть в прямоугольник (рис. 4.17).

Рассмотрим i-й участок сечения с длиной профиля 5, и толщиной h_r Считаем, что на закручивание этого элемента используется некоторая часть T_t

Рис. 4.17. Стержень с тонкостенным открытым поперечным сечением.

от общего крутящего момента в сечении, который равен сумме крутящих моментов всех участков:

Рассмотрим деформацию стержня. После деформирования участок сечения с номером i повернется на угол ср, который равен общему углу поворота сечения стержня ф. Для участка с номером i угол поворота в соответствии с формулой (4.35) равен.

Отсюда получаем значение крутящего момента для участка с номером г:

С учетом этого результата по формуле (4.36) определим значение крутящего момента в сечении:

Здесь п — число участков.

Геометрическая характеристика сечения запишется в виде.

Угол закручивания стержня с тонкостенным открытым поперечным сечением определяется по формуле.

Определим максимальное напряжение для /-го участка поперечного сечения:

Подставим в формулу (4.40) выражение для угла закручивания (4.39) и определим значение максимального напряжения для i-го участка сечения:

Поскольку напряжение пропорционально толщине элемента, максимальное напряжение возникнет на участке с наибольшей толщиной:

где.

Эпюры напряжений для элементов сечения стержня показаны на рис. 4.17.