Вынужденные колебания. 
Теория автоматического управления. 
Многомерные, нелинейные, оптимальные и адаптивные системы

Пусть задающее воздействие равно нулю. Тогда медленно изменяющаяся составляющая будет равна нулю, а колебания будут симметричными. И в этом случае для определения амплитуды и сдвига фазы вынужденных колебаний достаточно рассмотреть только уравнение (3.19в), которое при графическом методе решения удобно представить в виде [53].

Здесь коэффициенты гармонической линеаризации определяются по формулам, которые были получены при рассмотрении симметричных.

Подставив выражения для е и /(е) из последних двух соотношений в (3.18), получим.

Выделив отсюда уравнения для медленно меняющихся и быстро меняющихся составляющих, получим.

Учитывая, что последнее уравнение можно преобразовать к виду.

Это тождество будет выполнено, если множители при экспонентах е*^ш 1 и e~^JW 1 в левой и правой частях будут равны между собой:

где автоколебаний. Заметим, что Z (A) является функцией только неизвестной амплитуды, так как частота известна.

При графическом методе определения амплитуды и сдвига фазы на комплексной плоскости строится окружность радиуса В и годограф.

Рис. 3.14. К определению одночастотных вынужденных колебаний.

вектора (комплексной функции) Z (A) (рис. 3.14, а). В точке пересечения с окружностью по годографу находится амплитуда. Сдвиг фазы tp равен углу, который образует с осью абсцисс вектор, проведенный из начала координат в точку пересечения.

Годограф Z (A) пересекает окружность, если радиус окружности В превышает некоторое пороговое значение В_п (рис. 3.14,6). Если радиус окружности меньше порогового значения, то в системе будут происходить не одночастотные колебания, а сложные движения, включающие в себя и собственные колебания системы [53).

Построив годографы Z (A) при различных значениях частоты внешнего воздействия (рис. 3.14, в) и определив пороговые значения, можно на координатной плоскости (и_уВ) построить область, в которой существуют одночастотные вынужденные колебания. Эта область называется областью захвата [53).

Пример 3.3. В нелинейной системе (см. рис. 3.13) нелинейное звено имеет идеальную релейную характеристику с параметром с = 7г/2, передаточные функции линейных звеньев равны W = (0,01 р + + 1)/((0,8р + 1) р) и W₂ = 1/(0,2р+ 1), внешние воздействия равны д = 0 и h = -Вsin 101. Требуется найти пороговое значение амплитуды внешнего воздействия.

Решение. В данном случае.

коэффициенты гармонической линеаризации (см. табл. 3.1) q (A) = = 4с/(пА) = 2/.А, q'(A) = 0 и формула (3.19в) принимает вид.

Подставив сюда ш* = 10 и е = cosy? -jsiny?, затем выделив вещественную и мнимую части, получим.

Разрешив эту систему уравнений относительно синуса и косинуса, найдем

Отсюда, возведя в квадрат и сложив, получим квадратное уравнение.

Это уравнение имеет положительный корень, если В ^ 0,0188. Следовательно, пороговое значение амплитуды В_а = 0,0188.