Равновесие системы материальных точек. 
Принцип возможных перемещений. 
Теорема лагранжа об устойчивости положения равновесия

Пусть на систему наложены стационарные голономные идеальные связи. Тогда кинетическая энергия системы представляется квадратичной формой

где Q_k(q, q, /) — обобщенная сила, U (q, t) — силовая функция.

Уравнения движения системы записываются в одной из двух форм.

• 0.12.1. Говорят, что система материальных точек находится в равновесии в положении q₀, если q = q₀ есть решение уравнений
• (12.1) или (12.2).

Поскольку кинетическая энергия представлена квадратичной формой по q, то решение q = q₀, где q₀ постоянно, удовлетворяет соответственно уравнениям

Уравнения (12.3) означают, что в положении равновесия обобщенные силы равны нулю В случае консервативных сил, когда U= U (q), положения равновесия согласно (12.4) суть стационарные точки силовой функции.

Система уравнений Лагранжа второго рода эквивалентна принципу Д’Аламбера—Лагранжа

В положении равновесия последнее равенство принимает вид

и справедлив принцип возможных перемещений.

Необходимым и достаточным условием того, чтобы система, на которую наложены идеальные голономные стационарные связи, находилась в равновесии при q = q₀, является равенство нулю работы активных сил на любых возможных перемещениях.

Равенство (12.5) можно переписать в исходных декартовых координатах в виде

где F, — активная сила, действующая на точку М_г

П. 1. Материальная точка движется по поверхности г = х² + у² в силовом поле с силовой функцией U=-mg (t)z под действием силы сопротивления F = -кг. Независимыми координатами Лагранжа могут служить декартовы координаты х и у. Поскольку U (x, у, I) = = -mg (t) (х* + у*), г (х, у, х* + у*), т (х, у,2хх + 2уу), то обобщенные силы равны

В положении равновесия х = у = 0 н Q_x= Q_y = 0- Отсюда следует, что имеется единственное положение равновесия х = у= 0.

Предположим, что всякое решение уравнений Лагранжа второго рода существует при любом rz. 0. Не нарушая общности, можно считать, что положению равновесия системы соответствуют нулевые значения координат = q₂ = … = q" = 0.

0.12.2. Положение равновесия q = 0 называется устойчивым по Ляпунову, если для любого е>0 (е<�е₀) найдется 5(e) > О, такое, что при любых начальных условиях (q (0), q (0)) е В_ъ =

Т (теорема Лагранжа). Если силовая функция U (q_x, q_n) в положении равновесия имеет изолированный максимум, то это положение равновесия устойчиво по Ляпунову.

• 3. Потенциальная энергия V=-U имеет в устойчивом положении равновесия изолированный минимум.
• ? Рассмотрим фазовое пространство системы R²", которому принадлежат обобщенные скорости и координаты. Пусть в положении равновесия q = q = 0 силовая функция U также равна нулю и имеет изолированный максимум, т. е. существует окрестность В_ч, в которой нет других стационарных точек. Поскольку связи стационарны, а силы консервативны, то уравнения движения (12.2) имеют первый интеграл — закон сохранения энергии ТU= h. На всякой сфере S, = i (q, q):?( 2 +q,²)= г² •, г<�ео, являющейся ком-

I <-1.

пактом в Л²", дифференцируемая неотрицательная функция T-U достигает максимального и минимального значения. Пусть S_c, е < е₀ — сфера в R²" и Л (е) > 0 — минимальное значение функции ТU на S_c. Поскольку функция T-U непрерывна в ^ и обращается в нуль при q = q = 0, то найдется такая окрестность нуля В_ь, для которой ТU< h (e). Все траектории движения, начинающиеся в окрестности В_ъ, нс попадают на сферу S_c, так как для всех этих движений постоянная энергии И < Л (е), а й (е) — минимальное значение энергии на S_t. Следовательно, движение устойчиво по Ляпунову. ?

Суждение о наличии изолированного минимума потенциальной энергии может быть получено на основе критерия Сильвестра положительной определенности квадратичной формы. Потенциальная энергия V=-Uраскладывается в ряд Маклорена в окрестности положения равновесия q = О.

Первые два члена разложения равны нулю, третий представляет квадратичную форму.

Если квадратичная форма У₂ положительно определена, то функция V имеет в нуле изолированный минимум. Согласно критерию Сильвестра положительная определенность будет иметь место тогда и только тогда, когда все главные диагональные миноры матрицы В положительны.

Заметим также, что квадратичная форма У₂ может быть приведена к диагональному виду ортогональным преобразованием, принадлежащим группе вращений л-мерного пространства SO (n), а именно.

Величины Х|, х" называются коэффициентами устойчивости Пуанкаре, и устойчивость имеет место, если все они положительны.

П. 2. Две материальные точки одинаковой массы т связаны невесомым стержнем длины а и перемещаются в вертикальной плоскости Оху. Точка Л/, скользит по гладкой кривой у- 1 /2а (х* -х*). Обозначим угол между прямой ММ₂ и осью Оу через <�р (рис. 32. а). Система имеет две степени свободы. Обобщенные координаты х и Ф, а силовая функция.

Стационарные точки силовой функции удовлетворяют уравнениям.

решения которых х = 0, ±1/72, ф = 0, п. Таким образом, система имеет шесть положений равновесия при различных сочетаниях значений х и ф (рис. 32, б). Устойчивым является положение равновесия х = ф = 0, так как для него.

и коэффициенты устойчивости Пуанкаре положительны.