Выражение магнитного потока через циркуляцию вектор-потенциала

Магнитный поток, пронизывающий какую-либо поверхность S_y

Так как В = rot Л, то.

На основании теоремы Стокса поверхностный интеграл может быть преобразован в линейный:

Таким образом,

Другими словами, для определения магнитного потока, пронизывающего некоторую площадь (поверхность) 5, необходимо подсчитать циркуляцию вектор-потенциала по замкнутому контуру, на который опирается поверхность S.

Определение потока по (21.26) часто имеет преимущества по сравнению с определением потока через магнитную индукцию по (21.24). Соотношением (21.24) можно пользоваться в том случае, когда известно значение В в любой точке поверхности S_y тогда как для вычисления потока с помощью соотношения (21.26) достаточно знать значение А на.

Рис. 21.7.

контуре и не требуется знание А в точках внутри контура.

Переход от j rot Л dS к _.

интегралу $А dl можно пояснить следующим образом.

Разобьем площадь S на элементарные площадки (рис. 21.7, а). Заменим интеграл суммой и под интегралом вместо rot Л подставим в соответствии с определением ротора (предел опущен), тогда.

Таким образом, для вычисления J rot Л dS необходимо найти с оста в;

лениях, то составляющие циркуляции на всех смежных участках взаимно уничтожаются и остается циркуляция только по периферийному контуру mnpqm.

Рассмотрим граничные условия для векторного потенциала.

Если к плоскому контуру на границе раздела двух сред (подобно изображенному на рис. 21.5, б и у которого размер пр -> 0) применить (21.26) и учесть, что поток через этот контур равен нулю, то получим граничное условие для тангенциальной составляющей вектора А: А_и -A_2t Нормальная составляющая вектора, А в постоянном магнитном поле тоже непрерывна, т. е. А_]п = А_2п. Это следует из того, что для этого поля div.4 =0.

Но для переменного электромагнитного поля div^ — — [см. формулу (25.12)),.

vr dt

поэтому для синусоидально изменяющегося во времени поля при использовании нормн;

• • 7 Ю .

ровки Лоренца А_1п — А_2п — —.