Электромагнитные волны в направляющих системах

Волновые уравнения для направляемых волн

Рассмотрим произвольную бесконечно протяженную однородную направляющую систему, ориентированную вдоль оси. Будем считать, что направляющая система не вносит потерь.

В области, где отсутствуют сторонние источники, комплексные амплитуды векторов и, соответствующие волне, бегущей вдоль однородной линии передачи, могут быть представлены в виде.

(1).

где (коэффициент фазы), и — координаты, изменяющиеся в поперечном сечении рассматриваемой линии передачи. Выбор конкретной системы координат зависит от формы поперечного сечения линии. Множитель соответствует волне, бегущей в положительном направлении оси, а множитель — волне, бегущей в обратном направлении. Для определенности будем считать, что волна распространяется в положительном направлении оси Z.

Векторы и должны удовлетворять однородным уравнениям Гельмгольца (. С учетом формул (1) эти уравнения при и могут быть переписаны в виде.

(2).

(3).

а оператор. Величину называют поперечным волновым числом.

Покажем, что в тех случаях, когда векторы и (оба или один из них) имеют продольные составляющие, нахождение поля направляемой волны может быть сведено к определению составляющих и , так как поперечные составляющие векторов поля выражаются через продольные. Проецируя уравнения Максвелла на оси и декартовой системы координат и учитывая, что в рассматриваемом случае дифференцирование по переменной эквивалентно умножению на, получаем.

(4).

Система уравнений (4) позволяет выразить составляющие, , и через.

и. После элементарных преобразований имеем.

Система уравнений (5) связывает поперечные и продольные составляющие векторов поля в декартовой системе координат. Для выражения этой связи в произвольной системе координат перейдем к векторной форме уравнений (5).

Введем векторы.

(6).

(7).

связанные с и соотношением и. Подставляя, а (6) вместо и их выражения из (5), приходим к равенству.

.

которое может быть переписано в виде.

(8).

где оператор .

Аналогично доказывается равенство.

(9).

Продольные составляющие и удовлетворяют уравнениям.

(10).

вытекающим из (2).

Таким образом, для определения поля и гибридных волн достаточно найти составляющие и путем решения уравнений (10) с учетом краевых условий, соответствующих рассматриваемой направляющей системе, а для вычисления поперечных составляющих использовать равенства (5) или (8) и (9).

У ТЕМ-волн продольные составляющие векторов и отсутствуют (и).