Рассмотрение некоторых предельных случаев

Рассмотрим в (36) некоторые частные случаи:

1) Если тогда.

2) Если тогда.

3) Рассмотрим предельный случай, когда.

Где.

— дельта-функция Дирака и учтено, что.

Пока мы считаем, что, а — произвольное фиксированное число. Обычно полагают, что, а — случайная величина с плотностью вероятности, равной.

то есть реализуются два значения () с вероятностями каждое. Если усреднить уравнение (41) по, то члены в (41), линейные по исчезают, получаем.

В (37) рассмотрим предельный случай, когда.

Аномальная диффузия

(38).

Из уравнения (38) следует, что среднее значение квадрата смещения примеси пропорционально времени. В таком случае реализуется обычная (нормальная) диффузия. В том случае, когда коэффициент диффузии — случайная функция времени, как это предполагается в данной работе, этот закон нарушается.

Необходимый результат можно получить, используя полученный выше закон распределения (37). Однако в этом случае вычисления получаются излишне сложными. Поступим иначе:

Воспользуемся уравнением (38) и получим:

Если здесь перейти к новым безразмерным переменным.

то получим: молекулярный строение дифференциальный диффузия.

Рассмотрим в (40) некоторые предельные случаи:

1) Если, то есть отсутствуют флуктуации, то получаем.

2) Тот же результат получим и при усреднении по a, когда, а принимает значения с вероятностями каждое. Заметим здесь, что эта ситуация описывается уравнением (37), которое существенно отличается от решения (38). При этом нужно иметь в виду, что моменты 4-го и других более высоких порядков отличаются от стандартных и зависят от.

• 3)
• 4)

5) В частом случае, когда.

больше, чем в случае нормальной диффузии.

6) Если же следующий член разложения и.

Далее построим несколько графиков для уравнения (40):

1., где ;

• 2., где ;
• 3., где ;
• 4., где ;

5., где ;

На Рисунке 3 продемонстрированы графики функций (1−5).