Арифметические операции с непрерывными независимыми случайными величинами

Арифметические операции над случайными величинами основаны на нахождении совместной функции распределения двух или нескольких случайных величин и последующем дифференцировании функции по параметру. Написанная в общем виде совместная функция распределения.

есть функция распределения произвольной комбинации случайных величин, которая должна быть меньше некоторого параметра а. От вида комбинации зависит площадь интегрирования. Не следует смешивать эту функцию с функцией распределения Ft _л(х, у), которая представляет вероятность Р (4 < х, р < у) случайной величине (4, р) попасть в квадрант, находящийся левее и ниже точки (х, у).

1. Плотность суммы двух независимых случайных величин р^_+л(а).

Теорема 8.2. Если 4 и р — непрерывные независимые случайные величины с плотностями р*(х) и р_ц(у), где х, у — любые действительные числа, а их сумма х+у-а, тогда плотность суммы случайных величин определяется равенством

? Пусть случайная величина принимает значение, меньшее х, а случайная величина р — значение, меньшее у. Тогда их сумма % + Г| < < х +у = а. На рис. 8.2 на координатной плоскости (х, у) указана область D, в которую попадает сумма случайных величин. Вероятность того, что сумма двух случайных величин меньше некоторого числа а, имеет вид

Рис. 8.2. Область размещения суммы случайных величин Возьмем двойной интеграл по области D, перейдя к повторному:

Плотность распределения вероятностей получим, продифференцировав функцию P?_+n(a) по а, т. е. продифференцировав второй интеграл по верхнему пределу:

Последняя формула носит название формулы свертки (формула сворачивает двойной интеграл).

Замечание 8.3. Величина плотности распределения не изменится, если случайные величины поменять местами: p^_+n(a) = Pi₁₊^(a);

2. Плотность разности двух независимых случайных величин.

Теорема 8.3. Если и г| — непрерывные независимые случайные величины с плотностями р^(х) и р_п(у), где х, у — любые действительные числа, а их разность х — у — а тогда плотность разности случайных величин определяется равенством

?Пусть случайная величина принимает значение, меньшее х, а случайная величина г| — значение, большее у. Тогда их разность - — г] <�х-у = а. Аналогично плотности суммы находим вначале функцию распределения разности случайных величин (рис. 8.3) и берем двойной интеграл по области D:

Рис. 8.3. Область размещения разности % — т] случайных величин Плотность разности случайных величин получим после дифференцирования второго интеграла по верхнему пределу:

3. Плотность произведения независимых случайных величин.

Теорема 8.4. Если и ц — непрерывные независимые случайные величины с плотностями р^(х) и р_п(у), где х, у — любые действительные числа, а их произведение ху = а, тогда плотность произведения случайных величин определяется равенством

? Пусть случайная величина? принимает значение, меньшее х, а случайная величина Г) — значение, меньшее у. Тогда в координатах х и у граница области описывается гиперболой у =—. Функция распределения произведения случайных величин ^х

Рассмотрим случай а > 0. Построим область D. При х > 0 область, а а «.

интегрирования у <�—; при х < 0 — соответственно у >—. Для нахождех х ния двойного интеграла построенную область следует разделить на области интегрирования в верхней и нижней полуплоскостях (рис. 8.4):

Рис. 8.4. Область размещения произведения случайных величин.

Дифференцируем по а функцию распределения:

Случай а < 0 рассматривается аналогично и приводит к той же формуле. ?

4. Плотность отношения независимых случайных величин Теорема 8.5. Если? и г| — непрерывные независимые случайные величины с плотностями р*(х) и р_ц(у), где х, у — любые действительные

х

числа (у 9* 0), а их отношение равно — = а, тогда плотность отноше-

У

ния случайных величин определяется равенством

? Пусть случайная величина? принимает значение, меньшее х, а случайная величина г) — значение, большее у. Введем обозначение.

X

— -а. Тогда в координатах х и у граница области х = ау. Для случая а > 0 У.

X

построим область D. При у > 0 область интегрирования у>—, при.

а у < 0 — соответственно у <�— (рис. 8.5). Функция распределения отно;

а

шения двух независимых случайных величин и ее плотность определяются следующим образом:

Puc. 8.5. Область размещения отношения Jj/tj случайных величин Случай а < 0 рассматривается аналогично и дает ту же формулу. ?