Интегрирование линейного дифференциального уравнения с помощью степенных рядов

Задание: В первой части курсовой работы для решения дифференциального уравнения:

a?(t) + a?(t) + a?(t)x = 0, a?(t?)? 0, (1.1).

где функции a_i(t) (i = 0, 1, 2) разлагаются в степенной ряд в окрестности точки t? с радиусами сходимости r_i:

a_i(t) = _{i j}(t — t?) ^j

необходимо найти два линейно независимых решения ц?(t), ц?(t) уравнения (1.1). Такими решениями будут, например, решения с начальными условиями:

ц?(t?) = 1, (t?) = 0 и ц?(t?) = 0, (t?) = 1.

Решения ц_i(t) предлагается искать в виде степенного ряда:

ц_i(t) = _{i j}(t — t?) ^j (1.2).

методом неопределенных коэффициентов (В дальнейшем можно брать t?=0).

Решение:

1)Воспользуемся теоремой о представлении решения уравнения (1.1) в виде степенных рядов.

Теорема Задача Коши для уравнения (1.1) с аналитическими в точке t? коэффициентами имеет решение при произвольных начальных данных ц (t?) = с?, (t?) = с?

представимое в виде степенного ряда (1.2) с тем же радиусом сходимости, что и ряды a_i(t) = _{i j}(t — t?) ^j [1, Глава 7, § 6, с. 346].

• 2)Рассмотрим уравнение:
  • ()+sin t x=0 (1.3)

sin t = _k t^k

x=_k t^k(1.4).

Дифференцируем ряд (1.4) почленно два ряда:

=.

Подставляем полученные ряды в уравнение (1.3):

т. к., то .

Реккурентная формула для вычисления коэффициентов с _{i j} имеет вид:

3)Найдем радиусы сходимости полученных решений на основании теоремы о существовании и единственности решения.

.

+x = 0.

Коэффициенты p(t) = 0, q(t) = ,.

разлагаются в степенные ряды с радиусом сходимости, равным расстоянию точки t? до ближайшего нуля полинома a?(t). Следовательно, полученные решения имеют бесконечные радиусы сходимости.

4)Программа.

Текст программы представлен в приложении.

Первые 100 коэффициентов разложения при :

• 0 1.0
• 1 0.0
• 2 0.0
• 3 0.0
• 4 0.0
• 5 -0.1 042
• 6 0.0
• 7 0.25
• 8 0.47
• 9 -0.0
• 10 -0.1
• 11 -0.3
• 12 0.0
• 13 0.0
• 14 0.0
• 15 -0.0
• 16 -0.0
• 17 -0.0
• 18 0.0
• 19 0.0
• 20 0.0

…

100 -0.0.

Первые 100 коэффициентов разложения при :

• 0 0.0
• 1 1.0
• 2 0.0
• 3 0.0
• 4 0.0
• 5 -0.1 042
• 6 0.0
• 7 0.25
• 8 0.47
• 9 -0.0
• 10 -0.1
• 11 -0.3
• 12 0.0
• 13 0.0
• 14 0.0
• 15 -0.0
• 16 -0.0
• 17 -0.0
• 18 0.0
• 19 0.0
• 20 0.0
• 21 -0.0
• 22 -0.0
• 23 -0.0
• 24 0.0
• 25 0.0
• 100 -0.0