Интегрирование линейного дифференциального уравнения с помощью степенных рядов
Первые 100 коэффициентов разложения при: Первые 100 коэффициентов разложения при: Рассмотрим уравнение:()+sin t x=0 (1.3). Ц?(t?) = 1, (t?) = 0 и ц?(t?) = 0, (t?) = 1. A?(t) + a?(t) + a?(t)x = 0, a?(t?)? 0, (1.1). Коэффициенты p (t) = 0, q (t) = ,. Цi (t) = i j (t — t?) j (1.2). Ai (t) = i j (t — t?) j. Программа. Т. к., то. Решение: Sin t = k tk. X=k tk (1.4). 0.1 042. 0.1 042. X = 0. 0.3. 0.3. 0.1… Читать ещё >
Интегрирование линейного дифференциального уравнения с помощью степенных рядов (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Задание: В первой части курсовой работы для решения дифференциального уравнения:
a?(t) + a?(t) + a?(t)x = 0, a?(t?)? 0, (1.1).
где функции ai(t) (i = 0, 1, 2) разлагаются в степенной ряд в окрестности точки t? с радиусами сходимости ri:
ai(t) = i j(t — t?) j
необходимо найти два линейно независимых решения ц?(t), ц?(t) уравнения (1.1). Такими решениями будут, например, решения с начальными условиями:
ц?(t?) = 1, (t?) = 0 и ц?(t?) = 0, (t?) = 1.
Решения цi(t) предлагается искать в виде степенного ряда:
цi(t) = i j(t — t?) j (1.2).
методом неопределенных коэффициентов (В дальнейшем можно брать t?=0).
Решение:
1)Воспользуемся теоремой о представлении решения уравнения (1.1) в виде степенных рядов.
Теорема Задача Коши для уравнения (1.1) с аналитическими в точке t? коэффициентами имеет решение при произвольных начальных данных ц (t?) = с?, (t?) = с?
представимое в виде степенного ряда (1.2) с тем же радиусом сходимости, что и ряды ai(t) = i j(t — t?) j [1, Глава 7, § 6, с. 346].
- 2)Рассмотрим уравнение:
- ()+sin t x=0 (1.3)
sin t = k tk
x=k tk(1.4).
Дифференцируем ряд (1.4) почленно два ряда:
=.
Подставляем полученные ряды в уравнение (1.3):
т. к., то .
Реккурентная формула для вычисления коэффициентов с i j имеет вид:
3)Найдем радиусы сходимости полученных решений на основании теоремы о существовании и единственности решения.
.
+x = 0.
Коэффициенты p(t) = 0, q(t) = ,.
разлагаются в степенные ряды с радиусом сходимости, равным расстоянию точки t? до ближайшего нуля полинома a?(t). Следовательно, полученные решения имеют бесконечные радиусы сходимости.
4)Программа.
Текст программы представлен в приложении.
Первые 100 коэффициентов разложения при :
- 0 1.0
- 1 0.0
- 2 0.0
- 3 0.0
- 4 0.0
- 5 -0.1 042
- 6 0.0
- 7 0.25
- 8 0.47
- 9 -0.0
- 10 -0.1
- 11 -0.3
- 12 0.0
- 13 0.0
- 14 0.0
- 15 -0.0
- 16 -0.0
- 17 -0.0
- 18 0.0
- 19 0.0
- 20 0.0
…
100 -0.0.
Первые 100 коэффициентов разложения при :
- 0 0.0
- 1 1.0
- 2 0.0
- 3 0.0
- 4 0.0
- 5 -0.1 042
- 6 0.0
- 7 0.25
- 8 0.47
- 9 -0.0
- 10 -0.1
- 11 -0.3
- 12 0.0
- 13 0.0
- 14 0.0
- 15 -0.0
- 16 -0.0
- 17 -0.0
- 18 0.0
- 19 0.0
- 20 0.0
- 21 -0.0
- 22 -0.0
- 23 -0.0
- 24 0.0
- 25 0.0
- 100 -0.0