Теплопроводность цилиндрической стенки

Однородная стенка

Рассмотрим однородную цилиндрическую стенку (трубу) длиной l, с внутренним радиусом r₁ и внешним r₂. Коэффициент теплопроводности материала л постоянен. Внутренняя и внешняя поверхности поддерживаются при постоянных температурах t₁ и t₂, причем t₁>t₂ (рис. 1−11) и температура изменяется только в радиальном направлении r. Следовательно, температурное поле здесь будет одномерным, а изотермические поверхности цилиндрическими, имеющими с трубой общую ось. Выделим внутри стенки кольцевой слой радиусом r и толщиной dr, ограниченный изотермическими поверхностями.

Рисунок 4 — Теплопроводность через цилиндрическую однородную стенку.

Согласно закону Фурье, количество теплоты, проходящее в единицу времени через этот слой, равно.

(23).

Разделив переменные, имеем.

(24).

После интегрирования уравнения.

(25).

Подставляя значения переменных на границах стенки (при r = r₁ t = t₁ и при r = r₂ t = t₂) и исключая постоянную С, получаем следующую расчетную формулу.

(26).

Следовательно, количество теплоты, переданное в единицу времени через стенку трубы, прямо пропорционально коэффициенту теплопроводности л, длине l и температурному напору Дt,_. и обратно пропорционально натуральному логарифму отношения внешнего диаметра трубы d₂ к внутреннему d₁. Формула (26) справедлива и для случая, когда t₁ < t₂, т. е. когда тепловой поток направлен от наружной поверхности к внутренней.

Количество теплоты, проходящее через стенку трубы, может быть отнесено либо к единице длины 1, либо к единице внутренней F₁ или внешней F₂ поверхности трубы. При этом расчетные формулы соответственно принимают следующий вид.

(27).

(28).

(29).

Так как площади внутренней и внешней поверхностей трубы различны, то различными получаются и значения плотностей тепловых потоков q₁ и q₂. Взаимная связь между ними определяется соотношением.

(30).

(31).

Уравнение температурной кривой внутри однородной цилиндрической стенки выводится из уравнения (25). Подставляя сюда значения Q и С, имеем.

(32).

Следовательно, в этом случае при постоянном значении коэффициента теплопроводности л температура изменяется по логарифмической кривой (рис. 4). С учетом зависимости коэффициента теплопроводности от температуры уравнение температурной кривой принимает следующий вид.

(33).