Граничные условия для нормальных составляющих векторов поля

условие граничный поле вектор Установим условия, определяющие поведение нормальных к границе раздела сред составляющих векторов поля. Для этого рассмотрим объем (рис. 2а). Обозначим через поверхность, образованную пересечением с границей раздела сред, а через , — орты нормалей к торцам цилиндра. Считаем, что в каждой точке существует орт нормали .

Применим третье уравнение Максвелла в интегральной форме к объему, ограниченному поверхностями торцов, и боковой поверхностью цилиндра :

(1).

так как при имеем и поэтому интеграл по стремится к нулю. Учтем, что при, , .

Поскольку мало, то применяя теорему о среднем, можно вынести, | и из-под знака интеграла. Таким образом, сокращая на, получаем при.

(2).

На границе раздела S реальных сред заряды не скапливаются, поэтому они не имеют особенности, они не являются поверхностными, т. е. при. Значит,.

(3).

Применим к объему четвертое уравнение Максвелла в интегральной форме:

.

где — фиктивные сторонние магнитные заряды.

При имеем.

AS'+AS'+AS6 (4).

Считаем, что на границе раздела реальных сред фиктивный магнитный заряд, как и электрический, не может быть чисто поверхностным, поэтому при. Значит,.

(5).

Если — некоторый вектор, то — нормальная к S составляющая вектора. Поэтому имеем:

(6).

Это математическая формулировка граничных условий для нормальных составляющих векторов индукций: нормальные составляющие векторов индукций при переходе через поверхность раздела реальных сред непрерывны.

Для линейных изотропных сред:

,.

Поэтому в соответствии с (6) нормальные составляющие векторов напряженностей поля имеют скачок на S:

(7).