Производящие функции и действия над ними

Определение производящей функции

Определение. Пусть , — произвольная (бесконечная) последовательность чисело. Мы будем рассматривать последователность целых, рациональных и вещественных чмсел. Производящей функцией (производящим рядом) мы будем называть запись вида.

Замечание. Мы не можем сказать чему равно значение производящей функции в точке. Переменная является формальной, и ряд смысла не имеет. Единственное, что мы можем сказать про функцию, это, то что её значение в нуле равно. Если производящий ряд является многочленом (то есть все коэффициенты, кроме конечного числа равны нулю). То значение этого рядв в любой точке выражается конечной суммой и поэтому имеет смысл.

Определнение. Суммой двух производящих функций.

Определение. Произведением двух производящих функций, А и В называется производящая функция Оаределение. Пусть и две производяцие функцмм. Причём В (0) = 0. Подстановкой проиводяцией функцией В в функцию, А называется производящая функция вида А (+(.

Если, например., то.

А (.

Очевидно, что если обе производящие функции являются многочленами, то определиния суммы, произведения и подстановки производящих функция совпадает с определением суммы, произведения и подстановки многочленов.

Определение. Пусть — производящая функция. Производной этой функции называется функция Интегралом этой функции называется функция.

Замечание. Нетрудно видеть, что для функций, представимых в виде степенных рядов, формула для производной соответствует обычной. Формула для интеграла соответствует значению интеграла с переменным верхним пределом.

.

Это позволяет находить производящие функции для большого числа разнообразных последовательностей. Найдем, например, производящую функцию.

.

.

.