Центральная предельная теорема

В рассмотренном выше законе больших чисел ничего не говорилось о законе распределения случайных величин.

Поставим задачу нахождения предельного закона распределения.

П

суммы? X; независимых и одинаково распределенных случайных велиi=i.

чинХ₁, Х₂, …, Х_п, когда число слагаемых п неограниченно возрастает. Эту задачу решает центральная предельная теорема.

В зависимости от условий распределения случайных величин Х" образующих сумму, возможны различные формулировки центральной предельной теоремы. Приведем простейшую форму этой теоремы.

Теорема. ПустьХ_ЬХ₂, … Х_п — независимые и одинаково распределенные случайные величины, т. е. MX_t = a; DX_{ = ст², i - 1, 2, …, п. Тогда при п —> °° закон распределения суммы этих случайных величин неограниченно приближается к нормальному с математическим ожиданием па и дисперсией по².

Из этой теоремы следует, что при большом числе одинаково распределенных случайных величин закон распределения их суммы можно приближенно считать нормальным.

В этом случае вероятность попадания этой суммы в заданный промежуток от, а до (3 может быть приближенно определена по формуле, использующей функцию Лапласа,.

Поезд состоит из 100 вагонов. Масса вагона — случайная величина, имеющая среднее значение а = 65 т и дисперсию о² = 81 т2. Локомотив может везти состав массой, не превышающей 6600 т, в противном случае необходимо прицеплять второй локомотив. Какова вероятность того, что второй локомотив не потребуется?

Пример 7.15

Решение. ОбозначимХ_ьХ₂,… Х₁₀₀— массы соответственно первого, второго, …, сотого вагонов. Тогда масса поезда равна сумме масс всех этих ваго- 100 100.

нов, т. е.? Xj. Требуется найти вероятностьР (? X, < 6600), которую можно.

i=i i=i

юо записать как: Р (-°°<? X, <6600). Согласно следствию из центральной пре;

t=i.

дельной теоремы.

Заметим, что при увеличении числа опытов п биномиальное распределение стремится к нормальному и для приближенного вычисления вероятности попадания случайной величины X в заданный промежуток можно воспользоваться функцией Лапласа.

На практике пользуются приближенным равенством, которое тем точнее, чем больше значение опытов п

здесь MX = пр; DX = npq.

Пример 7.16.

Вероятность того, что наудачу выбранное дело, возбужденное прокуратурой, окажется связанным с грабежом, равна 0,2. Определить вероятность того, что среди 50 наугад выбранных дел связанных с грабежом окажется не менее шести.

Решение. Найдем математическое ожидание и дисперсию количества дел, связанных с грабежом, в 50 отобранных:

Фактически в задаче требуется определить вероятность того, что таких дел будет не менее шести, но и, очевидно, не более 50.

Значения функции Лапласа находятся по таблице (приложение 3). Конечно, значения функции Лапласа Ф (14,3) в таблице нет, но так как в таблицах указано, что Ф (3) = 1,0000, то все значения от величин, превышающих 3, также равны 1. ?

Пример 7.17.

Известно, что 60% всего числа изготавливаемых заводом изделий является изделиями первого сорта. Приемщик берет первые попавшиеся 200 изделий. Чему равна вероятность того, что среди них окажется от 120 до 150 изделий первого сорта?

Решение. Вероятность того, что деталь окажется первого сорта, равна 0,6. Математическое ожидание числа изделий первого сорта равно.

По теореме Муавра — Лапласа получаем

Пример 7.18.

При установившемся технологическом процессе фабрика выпускает в среднем 80% продукции первого сорта. Чему равна вероятность того, что в партии из 100 изделий число первосортных заключено между 78 и 85?

Решение. Процесс проверки изделий на первосортность можно рассматривать как повторные независимые испытания при п = 100, р = 0,8, q = 0,2. То есть случайная величина X, равная числу изделий первого сорта в партии из 100 изделий, распределена по биномиальному закону. Согласно следствию из интегральной теоремы Лапласа имеем.