Правильные замощения плоскости

Опишем все правильные замощения плоскости. Пусть в графе правильного замощения каждая вершина имеет степень /я, и каждая грань ограничена п ребрами. Мысленно предположим, что мы покрываем паркетом плоскость. Положив на плоскость одну плитку, обкладываем ее другими плитками. Затем обкладываем плитками уже замощенный участок. Увеличивая таким образом число плиток, мы будем получать все более широкий замощенный участок плоскости. Каждому этапу замощения будет соответствовать некий конечный граф, все грани которого, за исключением внешней, являются n-угольниками. Если обозначить через v' количество вершин, лежащих на границе внешней грани, а через V; - количество вершин, лежащих внутри замощенного участка, то при увеличении общего числа вершин v=v_;+v^/ (т.е. при.

v'.

увеличении замощенного участка) отношение — будет.

v'.

стремиться к нулю, т. е. мы можем записать, что Нт— = 0.

V—>оо Ясно, что в этом случае будет справедливо также равенство.

Для конечного графа, соответствующего каждому этапу замощения, удвоенное количество ребер равно сумме степеней всех вершин:

Следовательно, или.

—" °о.

Переходя в этом неравенстве к пределу при v, получим, что.

Используя равенство (2.5.1), приходим к выводу, что.

С другой стороны, удвоенное количество ребер можно вычислить, суммируя количества ребер, ограничивающих все грани:

или

Следовательно, переходя к пределу при v, —"°° и учитывая равенства (2.5.1) и (2.5.2), получим, что.

Используя формулу Эйлера, можем записать:

или Переходя к пределу при v, —"°о и учитывая равенства (2.5.1), (2.5.2) и (2.5.3), получим формулу, связывающую параметры тип бесконечного графа замощения плоскости.

Замечание. Существует более короткий (правда, не вполне корректный) путь получения формулы (2.5.4). Если «забыть» о том, что граф замощения является бесконечным, то можно записать: 2е = mv = nf. Т. е., mv mv.

е = —— и / = —. Используя формулу Эйлера, получим 2 п mv mv mm2

v —— + — = 2, или 1 — — + — = —. Вспоминая теперь, 2 п 2 п v.

что граф замощения является бесконечным и v — бесконечно большое число, получим формулу (2.5.4). Преобразуя равенство (2.5.4), можно записать:

Так как параметры пнт являются натуральными числами, не меньшими трех, то существует всего три решения уравнения (2.5.5):

Рис. 146 Рис. 147 Рис. 148

Отметим, что на рис. 146- 148 замощения состоят из правильных многоугольников.

Любая непрерывная деформация плоскости переведет эти замощения в другие замощения, которые по прежнему останутся топологически правильными. Так, например, на рис. 149 представлено _р ^ ^.

топологически правильное замощение из четырехугольников.

Необходимо отметить, что замощение из треугольников и сотовое замощение являются двойственными друг другу, а замощение из четырехугольников является самодвойственным.