Уравнения в полных дифференциалах

Определение 8. Уравнение вида.

где левая часть является полным дифференциалом некоторой функции F (x, y) в некоторой области D, называется уравнением в полных дифференциалах.

Таким образом, если существует такая функция F (x, у), что выполнены условия

то dF (x, у) = Р (х_у у) dx + Q (x, y)dy. Тогда из уравнения (18.17) следует, что dF (x_y у) = 0, откуда получаем общее решение в неявном виде:

где С — произвольная постоянная.

Из курса математического анализа известна теорема: для того чтобы выражение вида (18.17) было полным дифференциалом некоторой функции F (x_t >0″ необходимо и достаточно, чтобы было выполнено условие.

Поиск функции F (x_yy) сводится к следующим действиям. Интегрирование первого соотношения из (18.18) дает.

где С (у) — произвольная функция от у. Теперь нужно подобрать функцию С (у) так, чтобы выполнялось второе соотношение (18.18). Для этого продифференцируем по у равенство (18.21); с учетом второго условия (18.18) получаем дифференциальное уравнение для С (у):

Интегрируя это уравнение, получаем функцию С{у), а значит, и искомую функцию /*(.А‘, ^).

Пример 11. Найти общее решение уравнения.

Решение. Здесь Р (х, у) = х + у + 1, Q (x_t у) = х — у* + 2. Так как.

выражение в левой части является полным дифференциалом некоторой функции Г (х, у) = const. Согласно формуле (18.21) получаем:

Дифференцируя по у это выражение, получаем согласно (18.22) дифференциальное уравнение для С (у):

Интегрируя полученное уравнение по у> имеем выражение для С (у):

Подстановка полученного соотношения в формулу для F (x_%v) приводит к выражению.

Поскольку разность констант есть константа, после приведения к общему знаменателю получаем окончательное выражение, определяющее в неявной форме решение исходного дифференциального уравнения (так как 4 х F (x, у) тоже постоянная величина):

Упражнения

Найти общие решения дифференциальных уравнений методом разделения переменных.

18.1. ху'-у = 0. 18.2. уу' + х= 0. 18.3. х²у' + у = 0. 18.4. у' = у. 18.5. (1 + y²)dx = (1 + х²)ду.