Найти решения матричных игр графоаналитическим методом

а) игра (2 Ч5):

Находим гарантированный выигрыш, определяемый нижней ценой игры a = max (ai) = 3, которая указывает на максимальную чистую стратегию A1.

Верхняя цена игры b = min (bj) = 5.

Что свидетельствует об отсутствии седловой точки, так как a? b, тогда цена игры находится в пределах 3 <= y <= 5. Находим решение игры в смешанных стратегиях. Объясняется это тем, что игроки не могут объявить противнику свои чистые стратегии: им следует скрывать свои действия. Игру можно решить, если позволить игрокам выбирать свои стратегии случайным образом (смешивать чистые стратегии) Решим задачу геометрическим методом, который включает в себя следующие этапы:

• 1. В декартовой системе координат по оси абсцисс откладывается отрезок, длина которого равна 1. Левый конец отрезка (точка х = 0) соответствует стратегии A₁, правый — стратегии A₂ (x = 1). Промежуточные точки х соответствуют вероятностям некоторых смешанных стратегий S₁ = (p₁, p₂).
• 2. На левой оси ординат откладываются выигрыши стратегии A₁. На линии, параллельной оси ординат, из точки 1 откладываются выигрыши стратегии A₂.

Решение игры (2 x n) проводим с позиции игрока A, придерживающегося максиминной стратегии. Доминирующихся и дублирующих стратегий ни у одного из игроков нет. Максиминной оптимальной стратегии игрока A соответствует точка N, лежащая на пересечении прямых B₄B₄ и B₅B₅, для которых можно записать следующую систему уравнений:

y = 5 + (2 — 5) p₂ y = 3 + (5 — 3) p₂

Откуда p₁ = ³/₅ p₂ = ²/₅ Цена игры, y = 3⁴/₅ Теперь можно найти минимаксную стратегию игрока B, записав соответствующую систему уравнений, исключив стратегию B₁, B₂, B₃, которая дает явно больший проигрыш игроку B, и, следовательно, q₁ = 0, q₂ = 0, q₃ = 0.

5q₄+3q₅ = y 2q₄+5q₅ = y q₄+q₅ = 1 или 5q₄+3q₅ = 3⁴/₅ 2q₄+5q₅ = 3⁴/₅ q₄+q₅ = 1.

Решая эту систему методом обратной матрицы, находим:

q₄ = ²/₅ q₅ = ³/₅

б) игра (4 Ч2):

Находим гарантированный выигрыш, определяемый нижней ценой игры a = max (ai) = 4, которая указывает на максимальную чистую стратегию A4.

Верхняя цена игры b = min (bj) = 6.

Что свидетельствует об отсутствии седловой точки, так как a? b, тогда цена игры находится в пределах 4 <= y <= 6. Находим решение игры в смешанных стратегиях. Объясняется это тем, что игроки не могут объявить противнику свои чистые стратегии: им следует скрывать свои действия. Игру можно решить, если позволить игрокам выбирать свои стратегии случайным образом (смешивать чистые стратегии) Решим задачу геометрическим методом, который включает в себя следующие этапы:

• 1. В декартовой системе координат по оси абсцисс откладывается отрезок, длина которого равна 1. Левый конец отрезка (точка х = 0) соответствует стратегии B₁, правый — стратегии B₂ (x = 1). Промежуточные точки х соответствуют вероятностям некоторых смешанных стратегий S₁ = (p₁, p₂).
• 2. На левой оси ординат откладываются выигрыши стратегии B₁. На линии, параллельной оси ординат, из точки 1 откладываются выигрыши стратегии B₂.

Решение игры (m x 2) проводим с позиции игрока B, придерживающегося максиминной стратегии. Доминирующихся и дублирующих стратегий ни у одного из игроков нет.

Максиминной оптимальной стратегии игрока B соответствует точка N, лежащая на пересечении прямых A₃A₃ и A₄A₄, для которых можно записать следующую систему уравнений:

y = 2 + (6 — 2) q₂ y = 8 + (4 — 8) q₂

Откуда q₁ = ¹/₄ q₂ = ³/₄ Цена игры, y = 5 Теперь можно найти минимаксную стратегию игрока A, записав соответствующую систему уравнений, исключив стратегию A₁, A₂, которая дает явно больший проигрыш игроку A, и, следовательно, p₁ = 0, p₂ = 0.

2p₃+8p₄ = y 6p₃+4p₄ = y p₃+p₄ = 1 или 2p₃+8p₄ = 5 6p₃+4p₄ = 5 p₃+p₄ = 1.

Решая эту систему методом обратной матрицы, находим:

p₃ = ¹/₂ p₄ = ¹/₂

теория игра стратегия игрок.