Определение и свойства интеграла

Если F (x) — одна из первообразных функции f (x) на промежутке J, то первообразная на этом промежутке имеет вид F (x)+C, где CR.

Определение. Множество всех первообразных функции f (x) на промежутке J называется определенным интегралом от функции f (x) на этом промежутке и обозначается f (x) dx.

f (x) dx = F (x)+C, где F (x) — некоторая первообразная на промежутке J.

f — подынтегральная функция, f (x) — подынтегральное выражение, x — переменная интегрирования, C — постоянная интегрирования.

Свойства неопределенного интеграла

(f (x) dx) = f (x) dx,

f (x) dx = F (x)+C, где F (x) = f (x)

(f (x) dx) = (F (x)+C) = f (x)

f (x) dx = f (x)+C — из определения.

k f (x) dx = k f (x) dx

если k — постоянная и F (x)=f (x),

k f (x) dx = k F(x) dx = k (F(x) dx+C₁)= k f (x) dx

(f (x)+g (x)+ … +h (x)) dx = f (x) dx + g (x) dx + … + h (x) dx.

(f (x)+g (x)+ … +h (x)) dx = [F (x)+G (x)+ … +H (x)] dx =

= [F (x)+G (x)+ … +H (x)] dx = F (x)+G (x)+ … +H (x)+C=

= f (x) dx + g (x) dx + … + h (x) dx, где C=C₁+C₂+C₃+ … +C_n.

Интегрирование

Табличный способ.

Способ подстановки.

Если подынтегральная функция не является табличным интегралом, то возможно (не всегда) применить этот способ. Для этого надо:

разбить подынтегральную функцию на два множителя;

обозначить один из множителей новой переменной;

выразить второй множитель через новую переменную;

составить интеграл, найти его значение и выполнить обратную подстановку.

Примечание: за новую переменную лучше обозначить ту функцию, которая связана с оставшимся выражением.

Примеры:

1. x (3×2−1) dx;

Пусть 3x²-1=t (t0), возьмем производную от обеих частей:

6xdx = dt

xdx=dt/6

dt ₁ 1 ₁ 1 t ² 2 1 —;

— t ² = — t ²dt = - — + C = — 3x²-1 +C

6 6 6 3 9

2. t.

sin x cos ³x dx = — t³dt = - - + C

Пусть cos x = t

— sin x dx = dt

Метод преобразования подынтегральной функции в сумму или разность:

Примеры:

sin 3x cos x dx = ½ (sin 4x + sin 2x) dx = 1/8 cos 4x — ј cos 2x + C

x⁴+3x²+1 1 1.

— dx = (x²+2 — —) dx = — x² + 2x — arctg x + C

x²+1 x²+1 3

Примечание: при решении этого примера хорошо делать многочлены «углом».

По частям

Если в заданном виде взять интеграл невозможно, а в то же время, очень легко находится первообразная одного множителя и производная другого, то можно использовать формулу.

(u (x) v (x))'=u' (x) v (x)+u (x) v (x).

u' (x) v (x)=(u (x) v (x)+u (x) v' (x)

Проинтегрируем обе части.

u' (x) v (x) dx= (u (x) v (x))'dx — u (x) v' (x) dx

u' (x) v (x) dx=u (x) v (x) dx — u (x) v' (x) dx

Примеры:

x cos (x) dx = x dsin x = x sin x — sin x dx = x sin x + cos x + C

x = u (x)

cos x = v' (x)